2022届高考数学一轮复习（人教版）第8章 §8.1　直线的方程.docx

§8.1　直线的方程
考试要求　1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不含直线x＝x0
斜截式
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的直线
两点式
＝(x1≠x2，y1≠y2)
不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式
＋＝1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐标系内的直线都适用
微思考
1．直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？
提示　不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.
α的大小
0°
0°<α<90°
90°
90°<α<180°
k的范围
k＝0
k>0
不存在
k<0
k的增减性
随α的增大而增大
随α的增大而增大
2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？
提示　“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　)
(2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　)
(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　×　)
题组二　教材改编
2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
答案　A
解析　由题意得＝1，解得m＝1.
3．已知直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为________．
答案　或
解析　由|k|＝|tan α|＝1知tan α＝±1，
∴α＝或.
4．已知三点A(－3，－1)，B(0,2)，C(m,4)在同一直线上，则实数m的值为________．
答案　2
解析　因为A，B，C三点在同一直线上，所以kAB＝kBC，即＝，故m＝2.
题组三　易错自纠
5．(多选)下列说法正确的是(　　)
A．有的直线斜率不存在
B．若直线l的倾斜角为α，且α≠90°，则它的斜率k＝tan α
C．若直线l的斜率为1，则它的倾斜角为
D．截距可以为负值
答案　ABD
6．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且m∈，则直线AB的倾斜角α的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.
答案　D
解析　①当m＝－1时，α＝；
②当m≠－1时，∵k＝∈(－∞，－ ]∪，
∴α∈∪.
综合①②知直线AB的倾斜角α的取值范围是.
(2)(2020·安阳模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
答案　D
解析　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
∴－2≤k≤.
本例(2)直线l改为y＝kx，若l与线段AB相交，则k的取值范围是______．
答案　∪[3，＋∞)
解析　直线l过定点P(0,0)，
∵kPA＝3，kPB＝，∴k≥3或k≤.
思维升华 (1)斜率的两种求法：定义法、斜率