2024年高考数学一轮复习（人教版） 第1章　§1.3　等式性质与不等式性质.docx

§1.3　等式性质与不等式性质
考试要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b⇔b<a；
性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c；
性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；
性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b⇔<.
2．若a>b>0，m>0⇒<；
若b>a>0，m>0⇒>.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　√　)
(2)若>1，则b>a.(　×　)
(3)若x>y，则x2>y2.(　×　)
(4)若>，则b<a.(　×　)
教材改编题
1．如果ac>bc，那么下列不等式中，一定成立的是(　　)
A．ac2>bc2 B．a>b
C．a＋c>b＋c D.>
答案　D
解析　若c<0，则a<b，所以ac2<bc2，a＋c<b＋c，A，B，C均错；
因为ac>bc，则c2>0，因为ac>bc，则>，即>，故D正确．
2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．
答案　M>N
解析　∵M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)
＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，
∴M>N.
3．若1<a<2,2<b<3，则的取值范围是________．
答案　
解析　由2<b<3，
得<<，
又1<a<2，
∴1×<a×<2×，
即<<1.
题型一　数(式)的大小比较
例1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为(　　)
A．M<N B．M>N
C．M≤N D．M≥N
答案　B
解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.
(2)若a>b>1 ，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是(　　)
A．P>Q B．P＝Q
C．P<Q D．不能确定
答案　C
解析　P，Q作商可得＝＝，
令f(x)＝，则f′(x)＝ ，
当x>1时，f′(x)>0 ，所以f(x)＝在(1，＋∞)上单调递增，
因为a>b>1，所以<，
又>0，>0，所以＝<1，所以P<Q.
思维升华　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1　(1)已知a，b为不相等的实数，记M＝a2－ab，N＝ab－b2，则M与N的大小关系为(　　)
A．M>N B．M＝N
C．M<N D．不确定
答案　A
解析　因为M－N＝(a2－ab)－(ab－b2)＝(a－b)2，
又a≠b，所以(a－b)2>0，即M>N.
(2)已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
答案　M>N
解析　方法一　M－N＝－
＝
＝
＝>0.
∴M>N.
方法二　令f(x)＝
＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.
题型二　不等式的性质
例2　(1)已知a>b>c>0，下列结论正确的是(　　)
A．2a<b＋c B．a(b－c)>b(a－c)
C.> D．(a－c)3>(b－c)3
答案　D
解析　∵a>b>c>0，∴2a>b＋c，故A错误；
取a＝3>b＝2>c＝1>0，则a(b－c)＝3<b(a－c)＝4，故B错误；
由a>b>c>0可知，a－c>b－c>0，
∴<，(a－c)3>(b－c)3，故C错误，D正确．
(2)(多选)若a>0>b>－a，c<d<0，则下列结论正确的是(　　)
A．ad>bc B.＋<0
C．a－