2024年高考数学一轮复习（人教版） 第3章　§3.7　利用导数研究函数的零点.docx

§3.7　利用导数研究函数的零点
考试要求　函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现．
题型一　利用函数性质研究函数的零点
例1　已知函数f(x)＝xsin x－1.
(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；
(2)证明：函数y＝f(x)在[0，π]上有两个零点．
(1)解　因为函数f(x)的定义域为R，
f(－x)＝－xsin(－x)－1＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，
又f′(x)＝sin x＋xcos x，且当x∈时，f′(x)≥0，所以函数f(x)在上单调递增，又函数f(x)为偶函数，所以f(x)在上单调递减，
综上，函数f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明　由(1)得，f(x)在上单调递增，又f(0)＝－1<0，f ＝－1>0，所以f(x)在内有且只有一个零点，
当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sin x＋xcos x，
则g′(x)＝2cos x－xsin x，当x∈时，g′(x)<0恒成立，即g(x)在上单调递减，又g＝1>0，g(π)＝－π<0，则存在m∈，使得g(m)＝0，
且当x∈时，g(x)>g(m)＝0，即f′(x)>0，则f(x)在上单调递增，
当x∈(m，π]时，有g(x)<g(m)＝0，即f′(x)<0，则f(x)在(m，π]上单调递减，
又f ＝－1>0，f(π)＝－1<0，所以f(x)在(m，π]上有且只有一个零点，
综上，函数y＝f(x)在[0，π]上有2个零点．
思维升华　利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件
．
跟踪训练1　(2023·芜湖模拟)已知函数f(x)＝ax＋(a－1)ln x＋－2，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)只有一个零点，求a的取值范围．
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋－＝，
①若a≤0，则f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②若a>0，则当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)若a≤0，f ＝＋1－a＋e－2＝a＋e－1>0，f(1)＝a－1<0.
结合函数的单调性可知，f(x)有唯一零点．
若a>0，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以要使得函数有唯一零点，只需f(x)min＝f ＝1－(a－1)ln a＋a－2＝(a－1)(1－ln a)＝0，解得a＝1或a＝e.
综上，a≤0或a＝1或a＝e.
题型二　数形结合法研究函数的零点
例2　(2023·郑州质检)已知函数f(x)＝ex－ax＋2a，a∈R.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)求函数f(x)的零点个数．
解　(1)f(x)＝ex－ax＋2a，定义域为R，且f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0，则f(x)在R上单调递增；当a>0时，令f′(x)＝0，则x＝ln a，
当x<ln a时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln a时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≤0时，f(x)在R上单调递增；
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)令f(x)＝0，得ex＝a(x－2)，
当a＝0时，ex＝a(x－2)无解，∴f(x)无零点，
当a≠0时，＝，
令φ(x)＝，x∈R，∴φ′(x)＝，
当x∈(－∞，3)时，φ′(x)>0；
当x∈(3，＋∞)时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(－∞，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，且φ(x)max＝φ(3)＝，
又x→＋∞时，φ(x)→0，
x→－∞时，φ(x)→－∞，
∴φ(x)的图象如图所示．
当>，即0<a<e3时，f(x)无零点；
当＝，即a＝e3时，f(x)有一个零点；
当0<<，即a>e3时，f(x)有两个零点；
当<0，即a<0时，f(x)有一个零点．
综上所述，当a∈[0，e3)时，f(x)无零点；当a∈(－∞，0)∪{e3}时，f(x)有一个零点；当a∈(e3，＋∞)时，f(x)有两个零点．
思维升华　含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的