2024年高考数学一轮复习（人教版） 第4章　§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ).docx

§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识梳理
1．简谐运动的有关概念
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x≥0
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ
0
π
2π
x
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　×　)
(2)函数f(x)＝sin 2x向右平移个单位长度后对应的函数g(x)＝sin.(　×　)
(3)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数解析式为y＝sin x.(　×　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　√　)
教材改编题
1．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
答案　A
解析　由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.
2．(2022·浙江)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　D
解析　因为y＝2sin＝2sin 3，所以要得到函数y＝sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin
图象上所有的点向右平移个单位长度即可，故选D.
3．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
答案　1
解析　当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin ＝1，
即12点时潮水的高度是1 m.
题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案　B
解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝siny＝sin的图象
f(x)＝sin的图象．
(2)(2022·全国甲卷)将函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)＝sin＝sin.因为函数g(
x)的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，得ω＝2k＋(k∈Z)．因为ω＞0，所以ωmin＝.故选C.
思维升华　(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
跟踪训练1　(1)(2023·洛阳模拟)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，为了得到曲线C2，则对曲线C1的变换正确的是(　　)
A．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
B．先把横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
C．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向右平移个单位长度
D．先把横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再把得到的曲线向左平移个单位长度
答案　C
解析　A项， 先把曲线C1上