2024年高考数学一轮复习（人教版） 第8章　§8.2　两条直线的位置关系.docx

§8.2　两条直线的位置关系
考试要求　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
位置关系
l1，l2满足的条件
l3，l4满足的条件
平行
k1＝k2且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0
垂直
k1·k2＝－1
A1A2＋B1B2＝0
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　×　)
(2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　×　)
(3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)
(4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．(　√　)
教材改编题
1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　)
A．2 B. C. D.
答案　C
解析　点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝.
2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于(　　)
A．4 B．－4 C．1 D．－1
答案　A
解析　因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以＝≠，解得m＝4.
3．直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　直线x－2y－3＝0的斜率为k＝且与x轴交于点(3,0)，
故所求直线的斜率为－，且过点(3,0)，
其方程为y＝－(x－3)，
即x＋2y－3＝0.
题型一　两条直线的平行与垂直
例1　(1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)，
解得m＝1或m＝－3，
而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去，
则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件．
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是(　　)
A．0或－1 B．－1或1
C．－1 D．1
答案　A
解析　由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0，
解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意．
思维升华　判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
跟踪训练1　(1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C