人教版高中数学3.2.2 函数的性质（二）（精讲）（提升版）（解析版）.docx

3.2.2 函数的性质（二）（精讲）（提升版）
思维导图
考点呈现
例题剖析
考点一 函数的周期性
【例1-1】（2022·黑龙江）己知是定义在R上的周期为4的奇函数，当时，，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，为定义在R上的周期为4的奇函数，故 ，
故，所以
故即，
即，而当时，，
故，则当时，，
故，故选：D
【例1-2】（2022·湖南衡阳·三模）定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数,所以满足,又因为是奇函数,所以故
因此即是以4为周期的周期函数.
，
当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以 故选：A
【一隅三反】
1．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数的图象关于原点对称，且，当时，，则（       ）
A．-11 B．-8 C． D．
【答案】A
【解析】因为函数图象关于原点对称，所以，
由知，函数是以4为周期的函数，
又当时，，
则
.故选：A.
2．（2022·江西鹰潭·二模）已知是定义在R上的奇函数，若为偶函数且，则（       ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】因为是定义在R上的奇函数，又为偶函数，
所以、且，
则，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
由，
所以，
，
，
所以；故选：C
3．（2022·新疆·三模）已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，时，单调递增；
，，单调递增；

，，综上所述，.
故选：A.
考点二 函数的对称性
【例2-1】（2022·安徽合肥）函数（是自然对数的底数）的图象关于（       ）
A．直线对称 B．点对称
C．直线对称 D．点对称
【答案】D
【解析】由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，而，所以的图象关于点对称．故选：D．
【例2-2】（2022·全国·模拟预测）已知函数的定义域为R，对任意的恒成立，且函数的图像关于点对称，，则（       ）
A．2021 B．－2021 C．2022 D．－2022
【答案】A
【解析】对任意的都有，令x＝0，则，即，即有，即，所以函数的图像关于直线x＝2对称．又函数的图像关于点对称，则函数的图像关于点对称，即函数为奇函数．
所以，所以，
所以8是函数的最小正周期．
，所以，故选：A．
【例2-3】．（2022·山西吕梁）已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递增，则满足的的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数满足，所以的图象关于直线对称，
又在区间上单调递增，所以在上单调递减，
因为，，
即，平方后解得.所以的取值范围为.故选：B.
【例2-4】（2022·河南河南·三模（理））函数的所有零点之和为（       ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【解析】令，得，
图象关于对称，在上递减.
，令，
所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，
，在上递增，
所以与有两个交点，
两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为.
故选：B
【一隅三反】
1．（2022·北京四中高三阶段练****下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，图象关于、坐标原点分别成轴对称和中心对称，A正确；
对于B，为偶函数，其图象关于轴对称，但无对称中心，B错误；
对于C，关于点成中心对称，但无对称轴，C错误；
对于D，为奇函数，其图象关于坐标原点成中心对称，但无对称轴，D错误.
故选：A.
2．（2022·河北保定·一模）已知函数的图象关于点对称，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】图象关于点对称，，
又，
，
，解得：，.故选：C.
3．（2022·吉林·长春外国语学校高三开学考试（文））已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．关于点对称 D．关于直线对称
【答案】B
【解析】∵，
∴，，
∴，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误.
故