人教版第23讲 空间中的垂直关系（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第23讲 空间中的垂直关系
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.直线与平面垂直
(1)定义：一般地，如果直线l与平面α相交于一点A，且对平面α内任意一条过点A的直线m，都有l⊥m，则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线，α是直线l的一个垂面)，记作l⊥α，其中A为垂足.
(2)直线与平面垂直的充要条件：直线l与平面α内的任意直线都垂直.符号表示为：l⊥α⇔∀m⊂α，l⊥m.
(3)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直
m⊂α，n⊂α，m∩n≠∅，l⊥m，l⊥n，则l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
⇒l∥m
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角称为这条斜线与平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
3.二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个平面称为二面角的面；
(2)二面角的平面角：在二面角αlβ的棱上任取一点O，以O为垂足分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
4.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
一般地，如果两个平面α与β所成角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直，记作α⊥β.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
⇒α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
如果α⊥β，α∩β＝m，AO⊂α，AO⊥m，则AO⊥β.
考点和典型例题
1、直线、平面垂直的判定与性质
【典例1-1】（2022·全国·高二）设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（       ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【详解】
A选项，，，则可能平行，相交，异面，故A错误；
B选项，，，则可能，故B错误；
C选项，，，则可能，也可能，故C错误；
D选项，根据两条平行线中的一条直线垂直一个平面，则另一条也垂直该平面，故D正确.
故选：D.
【典例1-2】（2022·山东烟台·三模）若和分别为空间中的直线和平面，则“”是“垂直内无数条直线”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】
若，则垂直内所有直线，因此，命题“若，则垂直内无数条直线”正确，
垂直内无数条直线，若这无数条直线中无任何两条直线相交，此时直线可以在平面内，即不能推出，
所以“”是“垂直内无数条直线”的充分不必要条件.
故选：A
【典例1-3】（2019·山西·东康一中高二阶段练****设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（　　）
A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α
B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α
C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α
D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α
【答案】C
【详解】
对于A，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，故A错误；
对于B，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，故B错误；
对于C，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正确；
对于D，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，故D错误.
故选：C.
【典例1-4】（2022·全国·高二课时练****直三棱柱中，若，，，是棱上的中点，则点到平面的距离是（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图，
在直三棱柱中，连接，
由题知，平面，，
又，
∴
又，所以平面，
所以，
由于，点是棱上的中点，
根据勾股定理，
，
，，
所以，即.
设到平面的距离为，则，设点到平面的距离为，
在四面体中，，
则，解得.
故选：C.
【典例1-5】（2022·湖南岳阳·模拟预测）如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这