人教版第26讲 圆的方程（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第26讲 圆的方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(D2＋E2－4F＞0)
充要条件：D2＋E2－4F＞0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.
考点和典型例题
1、圆的方程
【典例1-1】已知圆方程的圆心为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为，即，
所以圆心坐标为；
故选：C
【典例1-2】当圆的圆心到直线的距离最大时，（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：因为圆的圆心为,半径，
又因为直线过定点A(-1,1),
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得.
故选：C.
【典例1-3】过点（7，-2）且与直线相切的半径最小的圆方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
过点作直线的垂线，垂足为，
则以为直径的圆为直线相切的半径最小的圆，
其中，设，
则，解得：，
故的中点，即圆心为，即，
故该圆为
故选：B
【典例1-4】已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（     ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【详解】
由恒过，
又，即在圆C内，
要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由，圆的半径为5，
所以.
故选：A
【典例1-5】与圆C：关于直线对称的圆的方程为（          ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
圆C：的圆心，半径．
设点关于直线的对称点为，
则，
所以圆C关于直线的对称圆的方程为，
故选:C．
2、与圆有关的最值问题
【典例2-1】已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：因为直线与圆有两个不同的交点，
所以圆心到直线的距离，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故选：B.
【典例2-2】已知点是圆上的动点，则的最大值为（
       ）
A． B． C．6 D．5
【答案】A
【详解】
由，令，则，
所以当时，的最大值为.
故选：A
【典例2-3】已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
解：直线整理可得，，即直线恒过，
同理可得，直线恒过，
又，
直线和互相垂直，
两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，设该圆心为，
圆心距，
两圆相离，
，
的取值范围是．
故选：B．
【典例2-4】如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（       ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】
解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝
在直角中，，由得，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3；
|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝．
故选：A．
【典例2-5】已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
圆：化为标准方程：，其圆心,半径.
过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：
在△PAC中,有，即，变形可得：.
设，则.
所以当的值即x最小时，的值最大，此时最小.
而的最小值为点C到直线的距离，即，
所以.
故选：B
3、与圆有关的