人教版第27讲 椭圆（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第27讲 椭圆
学校____________ 姓名____________ 班级____________
知识梳理
1.椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a＞|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距.
其数学表达式：集合M＝{P||PF1|＋|PF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则点P的轨迹为椭圆；
(2)若a＝c，则点P的轨迹为线段；
(3)若a＜c，则点P的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1(a>b>0)
＋＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0，1)
a，b，c的关系
c2＝a2－b2
考点和典型例题
1、椭圆的定义及应用
【典例1-1】已知，是两个定点，且（是正常数），动点满足，则动点的轨迹是（       ）
A．椭圆 B．线段 C．椭圆或线段 D．直线
【答案】C
【详解】
解：因为 （当且仅当 时，等号成立，所以，
当 且 时，，此时动点的轨迹是椭圆；
当 时，，此时动点 的轨迹是线段．
故选：C．
【典例1-2】已知椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由.
因为，是椭圆的上的点，、是椭圆的焦点，
所以，
因此的周长为，
故选：D
【典例1-3】已知椭圆的两个焦点分别为是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
根据椭圆定义可得，
所以，
由离心率，所以，
由，
所以椭圆C的标准方程为.
故选：B
【典例1-4】已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：由题意，椭圆方程，可得，
所以焦点，
又由椭圆的定义，可得，因为，所以，
在中，由余弦定理可得,
所以，解得，
又由，所以.
故选:C．
【典例1-5】已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由， ，又，解得，
.
故选：A.
2、椭圆的简单几何性质
【典例2-1】椭圆的左右焦点分别为，右顶点为，点在椭圆上，满足，则椭圆的离心率为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
由，得 ,故，即，故， ，在△中，由余弦定理可得： ，
，化简得
，即，则，，因为 ，所以
解得或（舍），
故选：B.
【典例2-2】椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，则双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【详解】
因为椭圆：与双曲线：的离心率之积为1，
所以有，
因此双曲线的两条渐近线方程为：，
所以双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为，，
故选：D
【典例2-3】已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由题得：，所以
故选：A．
【典例2-4】已知双曲线的左、右顶点为，，焦点在y轴上的椭圆以，为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
设所求椭圆的标准方程为，半焦距为，
双曲线的左顶点为，右顶点为，
由于椭圆以，为顶点，则，该椭圆的离心率为，
所以，，解得，所以，椭圆的方程为，
设点，由于，则点，
由于点在椭圆上，点在双曲线上，
所以，，联立得：，解得或，
当，所以，此时点与点重合，不满足题意舍去；
当，所以，所以.
故选：B.
【典例2-5】已知椭圆的左、右焦点分别为、，第