人教高中数学第08讲 拓展一：分离变量法解决导数问题 (精讲+精练）（教师版）.docx

第08讲 拓展一：分离变量法解决导数问题(精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数范围
①完全分离参数法
②部分分离参数法
高频考点二：已知零点个数求解参数范围
①完全分离参数法
②部分分离参数法
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第08讲 拓展一：分离变量法解决导数问题（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、分离变量法
在处理含参的函数不等式和方程问题时，有时可以将变量分离出来，如将方程，转化为这样就将把研究含参函数与轴的位置关系的问题转化为不含参的函数与动直线的位置关系问题，这种处理方法就叫分离变量法。
（1）优点：分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去，避免直接讨论，从而简化运算；
（2）解题过程中可能遇到的问题：
①参数无法分离；
②参数分离后的函数过于复杂；
③讨论位置关系时可能用到的函数极限，造成说理困难.
2、分类：
分离参数法有完全分离参数法（全分参）和部分分离参数法（半分参）两种
注意事项：无论哪种分参方法，分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响！
3、常见题型1：恒成立/存在问题求解参数范围
核心知识点：将与0的大小关系转化成和的大小关系
①恒成立
②恒成立
③恒成立
④恒成立
4、常见题型2：已知零点个数求解参数范围
核心知识点：
将转化成，应用导数方法绘制函数的大致图象（注意绘制图象时，可能需要用到极限思想，才能精确确定图象的轮廓）.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2021·江苏·高二单元测试）若函数在区间上只有一个零点，则常数的取值范围为（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
令，则，
因为函数在区间上只有一个零点
则函数与函数的图像只有一个交点
又，
在上单调递增，
则
故选：C.
2．（2009·福建·高考真题（文））若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是_________
【答案】
由题意该函数的定义域，由．因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点．
解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点．当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填.
解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得
3．（2015·浙江金华·高二期中（理））若对恒成立，则实数的取值范围是：___________．
【答案】
试题分析：中时，将代入直线得，若≤ kx-1 对恒成立，结合图像在的下方
4．（2022·全国·高三专题练****若存在，使得成立，则实数的取值范围是___________.
【答案】
设，因为，所以.
令，则，
则在上单调递增，故.
由题可知，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
5．（2022·四川省泸县第四中学高二阶段练****理））若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
可得在和上单调递增，在上单调递减
有三个不同的零点，可得解得
故答案为：
6．（2021·全国·高三专题练****已知函数.若函数在定义域上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】.
定义域为，
由得，
因函数在定义域上单调递增，
于是得在恒成立，
即在恒成立，
而，
当且仅当，即时取“=”，则，
所以实数a的取值范围是.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：恒成立（存在问题）求解参数范围
①完全分离参数法
1．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知不等式只有一个整数解，则m的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
不等式只有一个整数解，可化为只有一个整数解
令，则
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
则当时，取最大值，
当时，恒成立，的草图如下：
，，则
若只有一个整数解，则，即
故不等式只有一个整数解，则m的取值范围是
故选：B
2．（2022·新疆昌吉·高三阶段练****理））若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
依题意存在正实数x，y，使得等式成立，
，
当时，，不符合题意，所以
令，，，
构造函数，，
，所以在上递增，
，
所以在区间递减；在区间递增.
所以的最小值为.
要使有解