人教高中数学第09讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题） (精讲）（教师版）.docx

第09讲 高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题）(精讲）
目录
第一部分：典型例题剖析
题型一：椭圆中的定点问题
角度1：椭圆中的直线过定点问题
角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题
题型二：双曲线中的定点问题
角度1：双曲线中的直线过定点问题
角度2：双曲线存在定点满足某条件问题
题型三：抛物线中的定点问题
角度1：抛物线中的直线过定点问题
角度2：抛物线存在定点满足某条件问题
第二部分：高考真题感悟
第一部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：椭圆中的定点问题
角度1：椭圆中的直线过定点问题
典型例题
例题1．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程：
(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴交于点，线段的中点为，直线
过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
（1）依题意，，又椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，由得，，直线OP的斜率，直线的斜率，令得点坐标为，直线的方程为，即，直线恒过定点.
例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆：（）右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且的周长为.是椭圆上一动点，是直线上一点，且直线轴.
(1)求椭圆的方程：
(2)记直线与椭圆另一交点为，直线是否过轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理由.
【答案】(1)；(2)过定点N.
(1)解：因为椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，且，
所以，即，
又，，
解得，
所以椭圆方程为；
(2)，易知直线PQ斜率为0时，QM为x轴，
则若QM过定点，则定点位于x轴上，
当直线PQ斜率不为0时，设，
与椭圆方程联立，得，
设，
则，
，
所以直线QM的方程为，
令，得，
因为，
所以，
故直线QM过定点N.
例题3．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．
【答案】(1)；(2)详见解析.
(1)由，可得，
∴，又离心率为，
∴，，
∴椭圆C的方程为.
(2)设，
由，可得，
∴，可得，
，
由直线与关于轴对称，
∴，即，
∴，
即，
∴，
可得，
所以直线方程为，恒过定点.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练****椭圆，过点的直线和相互垂直（斜率存在），分别是和的中点．求证：直线过定点．
【答案】证明见解析
由题意可知，设AB直线为，，,则
因为分别是的中点，所以，
因为在椭圆上，
所以，由，得，即
，于是有，
所以，
，解得，∴．
（1）当时，点即是点，此时，直线MN为轴．
（2）当时，将上式点坐标中的换成，同理可得．
①当直线MN不垂直于轴时，直线MN的斜率，
其方程，化简得，
∴直线MN过定点．
②当直线MN垂直于轴时，，此时，，直线MN也过定点．
综上所述，直线MN过定点．
2．（2022·全国·高三专题练****已知椭圆，点，过点P作椭圆的割线PAB，C为B关于x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点．
【答案】证明见解析
设，，则，
设AC与x轴的交点为，，，
由定比分点公式坐标公式得：；，
即①，②，③，④，
由②④得⑤
∵点A、B在椭圆上，得，
两式相减得，
将①②代入上式得⑥
∵点A、C在椭圆上，得，将③④代入上式同理可得⑦
对比⑤⑥⑦得，故直线AC恒过定点．
3．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练****文））椭圆的左顶点为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知经过点斜率存在的直线交椭圆于两点，是直线上一点. 若，求直线的方程.
【答案】(1)(2)或或
(1)解：由题意得，解得.
所以椭圆的方程为.
(2)解：设，
由，得.
.
设，则.
所以.
由，知，即，
解得，所以或.
所以，直线l的方程为或或.
4．（2022·陕西汉中·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点，，M是一个动点，且直线AM，BM的斜率之积是，记M的轨迹为E．
(1)求E的方程；
(2)若过点且不与x轴重合的直线l与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为（与Q不重合），直线与x轴交于点G，求点G的坐标．
【答案】(1)(2)
(1)设，则直线AM的斜率为，直线BM的斜率为，
∴，整理得，
故E的方程为．
(2)由题意知，