人教高中数学第10讲 用导数研究函数性质（教师版）.docx

第10讲 用导数研究函数性质
真题展示
2022新高考一卷第10题
已知函数，则　　
A．有两个极值点 B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线
【思路分析】对函数求导，判断其单调性和极值情况，即可判断选项；由，可判断选项；假设是曲线的切线，设切点为，求出，的值，验证点是否在曲线上即可．
【解析】
【解法一】(验证切点)：，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，且，
有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项正确，选项错误；
又，则关于点对称，故选项正确；
假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，
显然和均不在曲线上，故选项错误．
故选：．
【解法二】 (二级结论)：对于A、B的判断，同法一；
对于C，应用结论：三次函数的对称中心为其拐点，而拐点的横坐标满足。
(x)=3x2−1,(x)=6x，由(x)=6x=0得x=0，f(0)=1，故点(0,1)是曲线y= f(x)的对称中心，C正确；
对于D，设过原点的直线与函数f(x)切于点(m,n)，则切线斜率k=3−1=，解得m=≠2，D错误 。
【解法三】(平移)：对于A、B的判断，同法一；
对于C，f(x)是由g (x)= x3-x向上平移一个单位而得到，显然g(x)是奇函数，其对称中心为(0,0)，将其向上平移一个单位得到f(x)的对称中心(0,1)。下同法二。
【试题评价】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值以及曲线在某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．
试题亮点
试题通过设计适当的函数，将函数的单调性、极值、零点、切线、函数图像等概念和性质有机地整合到所创设的问题情境中，设问简洁，考查点全面.试题既注重基础，又能使考生主动探究的能力得到展示.试题着重考查考生的理性思维素养和数学探究素养，为高校选拔人才提供有效依据.
知识要点整理
一、　函数的单调性与其导数的正负之间的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：
f′(x)的正负
f(x)的单调性
f′(x)>0
单调递增
f′(x)<0
单调递减
二、　利用导数判断函数的单调性的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求出导数f′(x)的零点；
(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
三、　函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对值
函数值变化
函数的图象
越大
快
比较“陡峭”(向上或向下)
越小
慢
比较“平缓”(向上或向下)
四、　函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
3．极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．
五、　函数极值的求法与步骤
1．求函数y＝f(x)的极值的方法
解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，
(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
2．求可导函数f(x)的极值的步骤
(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；
(2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)列表；
(4)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
六、　函数最值的定义
1．一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．
思考　如图所示，观察区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象，找出函数f(x)在区间[a