人教高中数学第24讲 三角恒等变换（2）（解析版）.docx

第24讲 三角恒等变换（2）
【基础知识全通关】
1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．
2. 要注意对“1”的代换：
如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.
3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：
如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±.
4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等．
5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤.
(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．
(3)y＝(或y＝)
可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．
(2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
【考点研****一点通】
1.已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】，，又，
，，
，

=．
【变式1-1】已知为锐角，且，则__________．
【答案】
【解析】因为为锐角，，
则，
所以，
.
故答案为： .
【变式1-2】设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b.
(1) 求tan的值；
(2) 求cos的值．
【解析】 (1) 因为a＝(sina，)，b＝，且a⊥b.
所以sina＋cosα＝，所以sin＝.2分
因为α∈，所以α＋∈，(4分)
所以cos＝，
故sin＝＝
所以tan＝.(6分)
(2) 由(1)得cos＝2cos2－1＝2×－1＝.(8分)
因为α∈，所以2α＋∈，
所以sin＝.(10分)
所以cos＝coscos－sinsin(12分)
＝.(14分)
方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行求解。
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．求：
(1) tan(α＋β)的值；
(2) α＋2β的大小．
【解析】： 由条件得cosα＝，cosβ＝．
∵ α，β为锐角，
∴ sinα＝＝，sinβ＝＝．
因此tanα＝＝7，tanβ＝＝．
(1) tan(α＋β)＝＝＝－3．
(2) ∵ tan2β＝＝＝，
∴ tan(α＋2β)＝＝＝－1．
∵ α，β为锐角，∴ 0<α＋2β<，∴ α＋2β＝．
【变式2-1】在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边上有一点．
(1)求的值；
(2)若，且，求角的值．
【解析】(1)角的终边上有一点P∴，，
∴，，
∴．
(2)由，得，∵，
∴，
则，因，则．
方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。
【考点易错】
1、若，则______．
【答案】
【解析】，，
，
化为：，
，
，解得．
，
故答案为
2、已知函数，
（1）求的最小正周期和单调递减区间。
（2）若方程在区间上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围。
【解析】（1）

∴
由，解得：
∴的单调递减区间为：
（2）即在区间上的图象与直线有两个不同的交点．
由（1）知：在上单调减，在上单调增，
∴，，
∴当时，在区间上的图象与直线有两个不同的交点，即方程在区间上两个不同的实数解．
∴的取值范围为．
【巩固提升】
1、若，则　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】法，
，
法，，
，
故选．
2、已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】，，又，，，
，

=．
3、已知，，则的值为_______