人教高中数学第27讲 高考题中的填空题解法（教师版）.docx

第27讲 高考题中的填空题解法

双空题—
新高考在填空题中引入一题双空题，其考查初衷一是增加试题考查的覆盖面，从一定程度上防猜题押题；二是两个空的总分值仍是5分，考生答对其中一空得部分分数的概率明显提高，这有利于提高一般考生的得分，也有利于区分选拔高水平考生．
一、双空填空题常见的两种类型
类型(一)　并列型
并列型双空填空题，即各空所填的内容是题干的并列结论，相互之间没有必然的逻辑关系．
1．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________.
解析：先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x0，y0)，则由y′＝，得切线斜率为，又切线的斜率为，所以＝，解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为，切线方程为y＝x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
答案：y＝x　y＝－x
2．(2019·北京高考)设函数f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)．若f(x)为奇函数，则a＝________；若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝ex＋ae－x(a为常数)的定义域为R，
∴f(0)＝e0＋ae－0＝1＋a＝0，∴a＝－1.
∵f(x)＝ex＋ae－x，∴f′(x)＝ex－ae－x＝ex－.
∵f(x)是R上的增函数，∴f′(x)≥0在R上恒成立，
即ex≥在R上恒成立，∴a≤e2x在R上恒成立．
又e2x>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．
答案：－1　(－∞，0]
3．四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则四面体ABCD的体积为________，球O的表面积为________．
解析：因为AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，所以四面体ABCD的体积为V＝×1××2×3＝1.易知四面体ABCD为“墙角四面体”，球O的表面积为4π2＝14π.
答案：1　14π
[题型技法]
此种类型双空题的特点是：两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问．所采取的解题策略是缺“问”解答或跳“问”解答，考场上切勿心浮气躁、全盘放弃．　　　　
类型(二)　相关型
相关型双空填空题，即两空所填内容之间存在逻辑关系，一空填错会影响另一空的对错．
1．(2022·北京高考)若函数f(x)＝Asin x－cos x的一个零点为，则A＝________；f＝________.
解析：依题意得f＝A×－×＝0，解得A＝1，所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin，所以f＝2sin＝－.
答案：1　－
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线的方程________，此时该弦中点到y轴的距离为________．
解析：抛物线y2＝2px(p>0)过焦点的弦中最短的是通径，其长为2p，因为过焦点F且被抛物线截得的弦长为2的直线有且仅有两条，所以2p<2，不妨取2p＝1，则满足条件的抛物线的方程为y2＝x，此抛物线的准线方程为x＝－，所以由抛物线的定义可知，该弦的中点到准线的距离d＝＝1，所以该弦的中点到y轴的距离为1－＝.
答案：y2＝x　
3．(2022·浙江高考)若3sin α－sin β＝，α＋β＝，则sin α＝________，cos 2β＝________.
解析：因为α＋β＝，所以β＝－α，
所以3sin α－sin β＝3sin α－sin＝3sin α－cos α＝sin(α－φ)＝，
其中sin φ＝，cos φ＝.
所以α－φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以α＝＋φ＋2kπ，k∈Z，
所以sin α＝sin＝cos φ＝，k∈Z.
因为sin β＝3sin α－＝－，
所以cos 2β＝1－2sin2β＝1－＝.
答案：　
[题型技法]
此种类型双空题的特点是：两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的结果再进行作答，第一空往往是整个题的切入点也是难点，只要第一空会做并且做对，第二空便可顺势解答．　　　　
二、解答填空题常用的四种方法
方法(一)　直接法
直接从题目的条件出发，利用概念、定理、公式、法则等数学基础知识得出答案，然后按照要求将最后结果填入空位处．填空题的直接法更像做解答题，但由于填空题不需要过程，因而可以跳过一些步骤