人教高中数学第29讲 平面向量的基本定理与坐标运算（解析版）.docx

第29讲 平面向量的基本定理与坐标运算
【基础知识全通关】
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
a=（x1，y1） b=（x2，y2）
a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) λa=(λx1，λy1)
3．平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=x+y.这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标．把=叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．
【微点拨】
（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中．
（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同．
（3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．
4．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算
运 算
坐标语言
加法与减法
记=(x1，y1)，=(x2，y2)
=(x1+x2，y1+y2)，=(x2-x1，y2-y1)
实数与向量的乘积
记=(x，y)，则=(x，y)
5．如何进行平面向量的坐标运算
在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：
（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．
（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．
（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．
（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
6．平面向量平行(共线)的坐标表示
设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或x1y2-x2y1=0.
【微点拨】
若，则∥不能表示成因为分母有可能为0.
7.三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，
若则A，B，C三点共线.
【考点研****一点通】
考点一：平面向量的正交分解
例1．如下图，分别用基底，表示向量、、，并求出它们的坐标．
【解析】
由图可知，∴=（―2，3）．
同理可知=3+4=（3，4）．
=4―4=（4，―5）．
【总结】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．
【变式1-1】已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量的坐标。
【点拨】可根据题意，画出图形，写出的坐标，然后再求题目中相应向量的坐标。
【解析】如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A（0，0），B（2，0），C（2cos60°，2sin60°）,
.
【总结】向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标，这是求向量坐标的最基本的方法。
【变式1-2】已知O是坐标原点，点M在第二象限，，∠xOM=120°，求的坐标．
【解析】设M（x，y），则．
，即，所以．
【变式1-3】已知，且求M、N及的坐标.
【点拨】根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.
【解析】

设，则
同理可求，因此
【总结】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“