人教高中数学第二节 平面向量基本定理及坐标表示 教案.doc

第二节　平面向量基本定理及坐标表示
核心素养立意下的命题导向
1.与向量线性运算相结合，考查平面向量基本定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．
2．与向量的坐标表示相结合，考查向量的线性运算，凸显数学抽象的核心素养．
3．与向量的坐标表示相结合，考查向量共线，凸显数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(基底的判断)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝
答案：B
2．(数乘运算)已知向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，则3a－2b＝(　　)
A．(－7,7)　　　　　　B．(－3，－2)
C．(6,2) D．(4，－3)
答案：A
3．(向量共线的应用)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
答案：－6
二、易错点练清
1.(混淆基底的选择)如图，在正方形ABCD中，E为DC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　)
A. B．－
C．1 D．－1
解析：选A　因为E为DC的中点，所以＝＋＝＋＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.
2．(混淆单位向量的方向)已知A(－5,8)，B(7,3)，则与向量反向的单位向量为________．
解析：由已知得＝(12，－5)，所以||＝13，因此与反向的单位向量为－＝.
答案：
3．(忽视基向量不共线)给出下列三个向量：a＝(－2,3)，b＝，c＝(－1,1)，在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________．
解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.
答案：2
考点一　平面向量基本定理及其应用
[典例]　(1)(2021·青岛模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)
A.－　　　　 B．－
C．－＋ D．－＋
(2)如图，在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)
A. B．－
C．2 D．－2
[解析]　(1)如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以＝＝－＝－，所以＝＋＝＋＝＋＝＋，于是＝－＝－＝－＝－＋，故选C.
(2)法一：直接法
因为点D在边BC上，
所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)(0≤t≤1)．
因为M是线段AD的中点，
所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)＋t.
又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t，
所以λ＋μ＝－.故选B.
法二：特殊点法
由题意知，D为边BC上任意一点，不妨令点D与点B重合，
则点M就是线段AB的中点．
显然此时＝＝－＋0.
又＝λ＋μ，且与不共线，
所以λ＝－，μ＝0，故λ＋μ＝－.故选B.
[答案]　(1)C　(2)B
[方法技巧]
平面向量基本定理的实质及解题思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．　　
[针对训练]
1．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)
A. B．
C. D．
解析：选D　因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝2＋＋＝2－－，所以＝－，所以λ＝－，μ＝，所以λ＋