人教高中数学第二课时 利用导数研究函数的零点.doc

第二课时　利用导数研究函数的零点
　题型一　判断、证明或讨论零点的个数
例1 已知函数f(x)＝xsin x－.
判断函数f(x)在(0，π)内的零点个数，并加以证明.
解　f(x)在(0，π)内有且只有两个零点.证明如下：
∵f′(x)＝sin x＋xcos x，当x∈时，f′(x)＞0，
f(x)＝xsin x－，从而有f(0)＝－＜0，f＝＞0，
又f(x)在上的图象是连续不间断的.
所以f(x)在内至少存在一个零点.
又f(x)在上单调递增，故f(x)在内有且只有一个零点.
当x∈时，令g(x)＝f′(x)＝sin x＋xcos x.
由g＝1＞0，g(π)＝－π＜0，且g(x)在上的图象是连续不间断的，
故存在m∈，
使得g(m)＝0.
由g′(x)＝2cos x－xsin x，
知x∈时，有g′(x)＜0，
从而g(x)在内单调递减.
当x∈时，g(x)＞g(m)＝0，即f′(x)＞0，从而f(x)在内单调递增，故当x∈
时，f(x)≥f＝＞0，故f(x)在上无零点；
当x∈(m，π)时，有g(x)＜g(m)＝0，即f′(x)＜0，从而f(x)在(m，π)内单调递减.
又f(m)＞0，f(π)＜0，且f(x)在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f(x)在(m，π)内有且仅有一个零点.
综上所述，f(x)在(0，π)内有且只有两个零点.
感悟提升　利用导数求函数的零点常用方法
(1)构造函数g(x)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数.
(2)利用零点存在定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数有多少个零点.
训练1 已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1).
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点.
(1)解　当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)单调递增，在(3－2，3＋2)单调递减.
(2)证明　由于x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0，仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)单调递增.
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点.
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－
＝－6－<0，
f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点.
综上，f(x)只有一个零点.
　题型二　根据零点情况求参数范围
例2 已知函数f(x)＝2ln x－x2＋ax(a∈R).
(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；
(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点，求实数m的取值范围.
解　(1)当a＝2时，f(x)＝2ln x－x2＋2x，
则f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1，1)，则切线的斜率k＝f′(1)＝2，则函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
(2)g(x)＝f(x)－ax＋m＝2ln x－x2＋m，
则g′(x)＝－2x＝，
∵x∈，
∴由g′(x)＝0，得x＝1.
当≤x＜1时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，
当1＜x≤e时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，
故当x＝1时，函数g(x)取得极大值g(1)＝m－1，
又g＝m－2－，g(e)＝m＋2－e2，
且g＞g(e)，
∴g(x)＝f(x)－ax＋m在上有两个零点需满足条件
解得1＜m≤2＋.
故实数m的取值范围是.
感悟提升　1.函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，根据图象的几何直观求解.
2.与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，进而求出参数的取值范围.也可分离出参数，转化为两函数图象的交点情况.
训练2 已知函数f(x)＝ex＋(a－e)x－ax2.
(1)当a＝0时，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在区间(0，1)内存在零点，求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝0时，f(x)＝ex－ex，
则f′(x)＝ex－e，f′(1)＝0，
当x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值，且极小值为f(1)＝0，无极大值.
(2)由题意得f′(x)＝ex－2ax＋a－e，