人教高中数学解密15 导数与函数的单调性、极值、（讲义）.doc

解密15 导数与函数的单调性、极值、
最值问题
核心考点
读高考设问知考法
命题解读
导数的几何意义
【2020新课标1理6】函数的图像在点处的切线方程为( )
利用导数研究函数的性质，能进行简单的计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.
【2020新课标3理10】若直线与曲线和都相切，则的方程为（ ）
【2020新课标1文15】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为__________．
【2016新课标2理16】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
利用导数研究函数的单调性
【2016新课标1文12】若函数在单调递增，则的取值范围是( )
【2020新课标2文21】已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设时，讨论函数的单调性．
利用导数研究函数的极值和最值
【2018新课标1理16】已知函数，则的最小值是________．
【2017新课标2理11】若是函数的极值点，则的极小值为( )
【2019新课标3文20】已知函数．
（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间[0，1]的最大值为，最小值为，求的取值范围．
【2018北京卷】设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，求a；
(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围.

核心考点一 导数的几何意义
1.导数的几何意义
函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
易错提醒　求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.
2.四个易误导数公式
(1)(sin x)′＝cos x；
(2)(cos x)′＝－sin x；
(3)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；
(4)(logax)′＝(a>0，且a≠1，x>0).
1．【2020新课标1理6】函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，，，，因此所求切线的方程为，即．故选B．
2．【2018新课标1文6理5】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为( )
A． B． C． D．
【解析】解法一：因为函数为奇函数，所以，所以
，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
解法二：因为函数为奇函数，所以，所以
，解得，所以，
所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
解法三：易知，因为为奇函数，所以函数
为偶函数，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为．故选D．
3．【2020新课标1文15】曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_____________．
【解析】设切线的切点坐标为，，所以切点坐标为，所求的切线方程为，即．故答案为．
1．【2020新课标3理10】若直线与曲线和都相切，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解法1：设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得或（舍），
则直线的方程为，即．故选D．
解法2：由原点到直线的距离为，排除BC；把代入得，而，排除A；把代入得，方程有唯一解，故选D．
2．【2020新课标3文15】设函数．若，则_________．
【解析】由函数的解析式可得，
则，据此可得，整理可得，解得．故答案．
3．【2016新课标2理16】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【解析】设与和的切点分别为 和．
则切线分别为，，
化简得，，
依题意，解得，从而．
核心考点二 利用导数研究函数的单调性
1.导数与函数单调性的关系.
①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.
②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.
2.利用导数研究函数单调性的方法.
①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，