人教高中数学解密15 导数与函数的单调性、极值、最值问题（分层训练）（解析版）.doc

解密15 导数与函数的单调性、极值、
最值问题
A组 考点专练
一、选择题
1.函数f(x)＝ln x－ax在x＝2处的切线与直线ax－y－1＝0平行，则实数a＝(　　)
A.－1 B. C. D.1
【答案】B
【解析】由f(x)＝ln x－ax，得f′(x)＝－a，∴f(x)在x＝2处切线的斜率k＝f′(2)＝－a.依题意－a＝a，
所以a＝.
2.函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
【答案】D
【解析】利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合.
3.已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－，则f(x)的极大值点为(　　)
A. B.1 C.e D.2e
【答案】D
【解析】因为f(x)＝2ef′(e)ln x－(x＞0)，
所以f′(x)＝－，所以f′(e)＝－＝2f′(e)－，
因此f′(e)＝，所以f′(x)＝－，
由f′(x)＞0，得0＜x＜2e；由f′(x)＜0，得x＞2e.
所以函数f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减，
因此f(x)的极大值点为x＝2e.
4.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋nx＋2，其导函数f′(x)为偶函数，f(1)＝－，则函数g(x)＝f′(x)ex在区间[0，2]上的最小值为(　　)
A.－3e B.－2e C.e D.2e
【答案】B
【解析】由题意可得f′(x)＝x2＋2mx＋n，
∵f′(x)为偶函数，∴m＝0，
故f(x)＝x3＋nx＋2，∵f(1)＝＋n＋2＝－，∴n＝－3.
∴f(x)＝x3－3x＋2，则f′(x)＝x2－3.故g(x)＝ex(x2－3)，
则g′(x)＝ex(x2－3＋2x)＝ex(x－1)(x＋3)，
据此可知函数g(x)在区间[0，1)上单调递减，在区间(1，2]上单调递增，
故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)＝e1·(12－3)＝－2e.
5.(多选题)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(0)＝0，f′(x)cos x＋f(x)sin x<0，则下列判断中正确的是(　　)
A.f<f B.f>0
C.f>f D.f>f
【答案】CD
【解析】令g(x)＝，x∈，
则g′(x)＝.
因为f′(x)cos x＋f(x)sin x<0，所以g′(x)＝<0在上恒成立，所以函数g(x)＝在上单调递减，所以g>g，即>，即f>f，故A错误；又f(0)＝0，所以g(0)＝＝0，所以g(x)＝≤0在
上恒成立，因为ln ∈，所以f<0，故B错误；又g>g，所以>，即f>f，故C正确；又g>g，所以>，即f>f，故D正确.故选CD.
二、填空题
6.若曲线y＝ex在x＝0处的切线也是曲线y＝ln x＋b的切线，则b＝________.
【答案】2
【解析】令y＝f(x)＝ex，y＝g(x)＝ln x＋b，
∴f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1，
∵f(0)＝1，∴曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y＝x＋1.
设切