人教高中数学解密16 导数的综合应用（分层训练）（解析版）.doc

解密16 导数的综合应用
A组 考点专练
一、选择题
1.若不等式2xln x≥－x2＋ax－3恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，0) B.(－∞，4]
C.(0，＋∞) D.[4，＋∞)
【答案】B
【解析】条件可转化为a≤2ln x＋x＋(x>0)恒成立，
设f(x)＝2ln x＋x＋，
则f′(x)＝(x>0).
当x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
所以f(x)min＝f(1)＝4.所以a≤4.
2.已知函数f(x)＝x2－3x＋5，g(x)＝ax－ln x，若对∀x∈(0，e)，∃x1，x2∈(0，e)且x1≠x2，使得f(x)＝g(xi)(i＝1，2)，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.∪
【答案】C
【解析】当x∈(0，e)时，函数f(x)的值域为.
由g′(x)＝a－＝可知：
当a≤0时，g′(x)<0，与题意不符，故a>0.
令g′(x)＝0，得x＝，则∈(0，e)，
所以g(x)min＝g＝1＋ln a.
作出函数g(x)在(0，e)上的大致图象，如图所示，
数形结合，知解得≤a<e.
3.已知函数f(x)＝(k－1)xex，若对任意x∈R，都有f(x)<1成立，则实数k的取值范围是(　　)
A.(－∞，1－e) B.(1－e，＋∞)
C.(－e，0] D.(1－e，1]
【答案】D
【解析】由f(x)<1，得(k－1)x<＝，所以曲线y＝恒在直线y＝(k－1)x的上方.
过原点作曲线y＝的切线，设切点为P(x0，y0)，则－＝，即－＝，得x0＝－1.
∴y＝的切线的斜率k0＝－e－x|x＝－1＝－e，则－e<k－1≤0，解得1－e<k≤1.
4.(多选题)关于函数f(x)＝＋ln x，下列判断正确的是(　　)
A.x＝2是f(x)的极大值点
B.函数y＝f(x)－x有且只有1个零点
C.存在正实数k，使得f(x)>kx恒成立
D.对任意两个正实数x1，x2，且x2>x1，若f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2>4
【答案】BD
【解析】函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝，当0<x<2时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，2)上单调递减，当x>2时，f′(x)>0，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2是f(x)的极小值点，故A错误；y＝f(x)－x＝＋ln x－x，∴y′＝－＋－1＝<0，函数y＝f(x)－x在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)－1＝2＋ln1－1＝1>0，f(2)－2＝1＋ln2－2＝ln2－1<0，∴函数y＝f(x)－x有且只有1个零点，故B正确；若f(x)>kx(x>0)，则k<＋，令g(x)＝＋，则g′(x)＝，令h(x)＝－4＋x－xln x，则
h′(x)＝－lnx，当h′(x)>0时，0<x<1，当h′(x)<0时，x>1，∴函数h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴h(x)≤h(1)<0，∴g′(x)<0，∴函数g(x)＝＋在(0，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，g(x)→0，
∴不存在正实数k，使得