人教高中数学考点22 利用导数研究函数的极值和最值（解析版）.docx

考点22 利用导数研究函数的极值和最值
【命题解读】
从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力
【基础知识回顾】
1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2、函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
3、常用结论
1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．
2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．
3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．
1、函数f(x)＝x2－ln x的最小值为(　　)
A．1＋ln 2 B．1－ln 2
C. D.
【答案】C
【解析】 因为f(x)＝x2－ln x(x>0)，所以f′(x)＝2x－，令2x－＝0得x＝，令f′(x)>0，则 x>；令f′(x)<0，则0<x<.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)的极小值(也是最小值)为2－ln＝，故选C.
2、函数f (x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f (x)(　　)
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有三个极大值点、一个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
【答案】C
【解析】　设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4.
当x<x1时，f′(x)>0，f (x)为增函数，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f (x)为减函数，
则x＝x1为极大值点，
同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C.
3、设函数f (x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f (x)的极大值点
B．x＝为f (x)的极小值点
C．x＝2为f (x)的极大值点
D．x＝2为f (x)的极小值点
【答案】D
【解析】　因为f (x)＝＋ln x，所以f′(x)＝－＋＝，x>0.
当x>2时，f′(x)>0，f (x)为增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，f (x)为减函数，所以x＝2为f (x)的极小值点，故选D.
4、已知a为函数f (x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　)
A．－4 B．－2 C．4 D．2
【答案】D
【解析】　由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f (x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)<0，函数f (x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数f (x)单调递增，所以a＝2.
5、函数的极大值是正数，极小值是负数，则的取值范围是________．
【答案】：(，＋∞)
【解析】：f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，
当－a<x<a时，f′(x)<0，函数递减；当x>a或x<－a时，f′(x)>0，函数递增．
∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，解得a>.
∴a的取值范围是(，＋∞)
考向一　利用导数研究函数的极值
例1、已知函数，求函数的极大值与极小值．
【解析】：由题设知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x＝3ax.
令f′(x)＝0得