人教高中数学考点27 三角恒等变换（1）（解析版）.docx

考点27 三角恒等变换（1）
【命题解读】
能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
.能运用上述公式进行简单的恒等变换
【基础知识回顾】
知识梳理
1. 两角和与差的余弦、正弦、正切公式
sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ，简记作S(α±β)；
cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ，简记作C(α±β)；
tan(α±β)＝，简记作T(α±β)．
2. 二倍角公式
sin2α＝2sinα·cosα；
tan2α＝；
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
3. 辅助角公式
y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中φ为辅助角，且其中cosφ＝，sinφ＝，tanφ＝.
4. 公式的逆用及有关变形
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanα·tanβ)；
sinα±cosα＝sin(α±)；
sinα·cosα＝sin2α；
1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2；
1－sin2α＝(sinα－cosα)2；
sin2α＝；
cos2α＝；
tan2α＝(降幂公式)；
1－cos2α＝2sin2α；1＋cos2α＝2cos2α(升幂公式)．
1、知cos α＝－，α∈，则sin等于(　　)
A.－ B. C.－ D.
【答案】　C
【解析】　∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
2、已知tan＝2，则tan α＝(　　)
A. B.－ C. D.－
【答案】　A
【解析】　tan＝＝2，解得tan α＝.
3、(多选)已知f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x(x∈R)，则下面结论正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期T＝ B．f(x)是偶函数
C．f(x)的最大值为 D．f(x)的最小正周期T＝π
【答案】ABC　
【解析】因为f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝(1－cos22x)＝sin22x＝(1－cos 4x)，∵f(－x)＝f(x)，∴T＝＝，f(x)的最大值为×2＝.故D错．
4、 (多选)下列式子的运算结果为的是(　　 )
A．tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°
B．2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)
C.
D.
【答案】ABC
【解析】对于A，tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋tan 25°tan 35°＝－tan 25°tan 35°＋tan 25°tan 35°＝；对于B，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝；对于C，＝＝tan 60°＝；
对于D，＝×＝×tan＝.
综上，式子的运算结果为的是A、B、C.
5、【2020江苏南京三校联考】已知sin(x+π4)=35，则sin2x＝_____________．
【答案】﹣725
【解析】∵sin(x+π4)=35，∴sin2x=−cos(2x+π2)=2sin2(x+π4)−1=1825﹣1=−725，故答案为：﹣725．
6、(一题两空)已知0＜α＜，且sin α＝，则tan＝________，＝________.
【答案】：7　
【解析】因为0＜α＜，且sin α＝，所以cos α＝＝，所以tan α＝＝，
则tan＝tan＝＝7.
＝＝＝＝.
考向一　利用两角和(差)公式运用
例1、已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，
sin＝，求cos(α＋β)．
【解析】　∵0＜β＜＜α＜π，∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝＝，
sin＝＝，
∴cos＝cos＝
coscos＋sinsin＝
×＋×＝，∴cos(α＋β)＝
2cos2－1＝2×－1＝－.
变式1、（2020江苏溧阳上学期期中考试）如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，，它们的终边分别与单位圆相交于，两点，已知，的横坐标分别为，，则______．
【答案】
【解析】由三角函数的定义得：，所以，
所以．故答案为．
变式2、【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】已知是第二象限角，且，，则____.
【答案】
【解析】由是第二象限角，且，可得，，
由，可得，代入，