人教高中数学考点28 三角恒等变换（2）（解析版）.docx

考点28 三角恒等变换（2）
【命题解读】
运用两角和与差以及二倍角进行化简求值；能熟练解决变角问题；能熟练的运用公式进行求角
【基础知识回顾】
知识梳理
1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．
2. 要注意对“1”的代换：
如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.
3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：
如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±.
4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等．
5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤.
(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．
(3)y＝(或y＝)
可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．
(2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．
1、若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A.　　　　　　　　　 B.
C.或 D.或
【答案】A　
【解析】∵α∈，
∴2α∈，
∵sin 2α＝，∴2α∈.
∴α∈且cos 2α＝－.
又∵sin(β－α)＝，β∈，
∴β－α∈，cos(β－α)＝－，
∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又∵α＋β∈，∴α＋β＝.
2、已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为____________．
A． B. C. D．
【答案】：A
【解析】：由题意可得α＋∈，β－∈，所以cos＝－，sin(β－)＝－，
所以sin(α－β)＝－sin[(α＋)－(β－)]＝－＝．
3、已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝________.
【答案】
【解析】因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
4、(一题两空)如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.则cos(α－β)＝________，2α－β＝________.
【答案】－　－
【解析】由题意，OA＝OM＝1，
因为S△OAM＝和α为锐角，所以sin α＝，cos α＝.
又点B的纵坐标是，所以sin β＝，cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
因为cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，所以2α∈.
因为β∈，所以2α－β∈.
因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝－，
所以2α－β＝－.
5、【江苏省南通市海安高级中学2019-2020学年3月线上考试】若，则______．
【答案】
【解析】，，
，
化为：，
，
，解得．
，
故答案为
考向一　变角的运用
例1、（2020江苏苏州五校12月月考）已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】，，又，，，
，

=．
变式1、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知为锐角，且，则__________．
【答案】
【解析】因为为锐角，，
则，
所以，
.
故答案为： .
变式2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈，已知向量a＝(sinα，)，b＝，且a⊥b.
(1) 求tan