人教高中数学课时跟踪检测（十六） 破解“函数与导数”问题常用到的4种方法 作业.doc

课时跟踪检测（十六） 破解“函数与导数”问题常用到的4种方法
1．(多选)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝－1，其导函数f′(x)满足f′(x)＞m＞1，则下列成立的有(　　)
A．f＞　　　　　　　 B．f＜－1
C．f＞ D．f＜0
解析：选AC　设g(x)＝f(x)－mx，则g′(x)＝f′(x)－m＞0，故函数g(x)＝f(x)－mx在R上单调递增，又＞0，∴g＞g(0)，即f－1＞－1，∴f＞0，
而＜0，∴f＞，故A正确，B错误．
∵＞0，∴g＞g(0)，即f－＞－1，f＞＞0，故C正确，D错误．
2．设f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为(　　)
A．(－∞，－4) B．(0,4)
C．(－4,0)∪(0,4) D．(－∞，－4)∪(0,4)
解析：选D　根据条件f(x)＋xf′(x)<0，可以构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
可以推出当x<0时，F′(x)<0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．
∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝xf(x)为奇函数．
∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．
根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，∴F(4)＝0.
根据函数的图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．故选D.
3．设y＝f(x)是(0，＋∞)上的可导函数，f(1)＝2，(x－1)[2f(x)＋xf′(x)]>0(x≠1)恒成立．若曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y＝g(x)，且g(a)＝2 018，则a等于(　　)
A．－501 B．－502
C．－503 D．－504
解析：选C　由“2f(x)＋xf′(x)”联想到“2xf(x)＋x2f′(x)”，可构造 F(x)＝x2f(x)(x>0)．
由(x－1)[2f(x)＋xf′(x)]>0(x≠1)可知，
当x>1时，2f(x)＋xf′(x)>0，
则F′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)>0，故F(x)在(1，＋∞)上单调递增；
当0<x<1时，2f(x)＋xf′(x)<0，则F′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)<0，
故F(x)在(0,1)上单调递减，所以x＝1为极值点，
则F′(1)＝2×1×f(1)＋12f′(1)＝2f(1)＋f′(1)＝0.
由f(1)＝2可得f′(1)＝－4，曲线f(x)在点(1,2)处的切线为y－2＝－4(x－1)，
即y＝6－4x，故g(x)＝6－4x，g(a)＝6－4a＝2 018，
解得a＝－503，故选C.
4．(2021年1月新高考八省联考卷)已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则(　　)
A．c＜b＜a B．b＜c＜a
C．a＜c＜b D．a＜b＜c
解析：选D　由题意知，0＜a＜5,0＜b＜4,0＜c＜3，且＝，＝，＝.
设f(x)＝，x＞0，则f′(x)＝，
可知f(x)在(0,1)单调递减，在(1，＋∞)单调递增，
又0＜a＜5,0＜b＜4,0＜c＜3，
则0＜a＜b＜c＜1.
5．定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)＞f(x)恒成立，若x