人教高中数学阅读与欣赏(六)　解决数列问题的七大常用技巧.doc

解决数列问题的七大常用技巧
技巧一　巧用性质减少运算
等差数列、等比数列的通项公式与求和公式中均涉及多个量，解题中可以不必求出每个量，从整体上使用公式．
(1)等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则a9＋a11＋a13＋a15的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．2
C．3 D．5
(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6＞S7＞S5，则满足SkSk＋1＜0的正整数k＝__________．
[点拨]　(1)可直接把a1＋a3看作一个整体，利用等比数列的性质求解公比，然后代入即可；也可直接将已知转化为首项和公比所满足的方程，求出公比后再求和．(2)利用等差数列的前n项和的性质．
【解析】　(1)法一：因为{an}为等比数列，所以a5＋a7是a1＋a3与a9＋a11的等比中项，所以(a5＋a7)2＝(a1＋a3)·(a9＋a11)，故a9＋a11＝＝＝2.
同理，a9＋a11是a5＋a7与a13＋a15的等比中项，
所以(a9＋a11)2＝(a5＋a7)(a13＋a15)，
故a13＋a15＝＝＝1.
所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
法二：设等比数列{an}的公比为q，
则a5＝a1q4，a7＝a3q4，所以q4＝＝＝.
又a9＋a11＝a1q8＋a3q8＝(a1＋a3)q8＝8×＝2，
a13＋a15＝a1q12＋a3q12＝(a1＋a3)q12＝8×＝1，
所以a9＋a11＋a13＋a15＝2＋1＝3.
(2)依题意得a6＝S6－S5＞0，
a7＝S7－S6＜0，a6＋a7＝S7－S5＞0，
则S11＝＝11a6＞0，
S12＝＝＞0，
S13＝＝13a7＜0，
所以S12S13＜0，即满足SkSk＋1＜0的正整数k＝12.
【答案】　(1)C　(2)12
技巧二　巧用升降角标法实现转化
在含有an，Sn对任意正整数n恒成立的等式中，可以通过升降角标的方法再得出一个等式，通过两式相减得出数列递推式，再根据递推式求得数列的通项公式和解决其他问题．
设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1＝3，an＋1＝2Sn＋3(n∈N*)．求数列{an}的通项公式．
【解】　当n≥2时，由an＋1＝2Sn＋3，
得an＝2Sn－1＋3，
两式相减，得an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，
所以an＋1＝3an，
所以＝3.
当n＝1时，a1＝3，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝9，则＝3.
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列．
所以an＝3×3n－1＝3n.
技巧三　巧用不完全归纳找规律
解数列问题时要注意归纳推理的应用，通过数列前面若干项满足的规律推出其一般性规律．
在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos[(n＋1)π]，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2 018＝__________．
[点拨]　根据递推式计算数列的前面若干项，发现规律，然后求S2 018的值．
【解析】　由a1＝1，an＋1＋(－1)nan＝cos [(n＋1)π]，得a2＝a1＋cos 2π＝1＋1＝2，a3＝－a2＋cos 3π＝－2－1＝－3，a4＝a3＋cos 4π＝－3