人教考向22 解三角形（重点）-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.doc

考向22 解三角形
1．（2021·全国高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】
利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】
设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
【点睛】
利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
2．（2021·全国高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【分析】
（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】
（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
解答三角高考题的策略：
(1)发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。
(2)寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化。
两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例。另外，利用正弦定理解三角形时可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解。
1、正弦定理：。 (其中为的外接圆的半径)
正弦定理的变形公式：①，，；
②，，；
③；
④；
2、三角形面积定理：；
； (其中为的内切圆的半径)
3、余弦定理：；
；
；
4、设、、是的角、、的对边，则：①若，则；
②若，则；
③若，则。
【知识拓展】
1、三角形解的个数的讨论
为锐角
为钝角或直角
或

两解
一解
无解
一解
无解
2、解三角形
处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度(几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度)去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解。
(1)三角形中的边角关系
①三角形内角和等于；
②三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
③三角形中大边对大角，小边对小角；
(2)利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形
已知条件
应用定理
一般方法
解的情况
一边和两角
正弦定理
由求第三角，由正弦定理求其它两边
一解
两边和夹角
余弦定理或
正弦定理
由余弦定理求第三边，由正弦定理求较小边对应的较小角，由求第三角
一解
三边
余弦定理
由余弦定理求两角，由求第三角
一解
两边和其中
一边的对角
正弦定理或
余弦定理
①由正弦定理求另一边的对角，由求第三角，利用正弦定理求第三边
②由余弦定理列关于第三边的一元二次方程，根据一元二次方程的解求，然后利用正弦定理或余弦定理求其它元素
两解
一解
或无解
(3)利用正、余弦定理判断三角形的形状
常用方法是：①化边为角；②化角为边.
3、三角形中的三角变换
(1)角的变换
在中，，
则；；；
，；
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。
面积公式：，
其中为三角形内切圆半径，为周长之半；
(3)在中，熟记并会证明：
①、、成等差数列的充分必要条件是；
②是正三角形的充分必要条件是、、成等差数列且、、成等比数列。
1．（2021·全国高三其他模拟（文））中角，，所对的边分别为，，，，若的周长为15，且三边的长成等差数列，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·全国高三其他模拟（理））在中，，，，平分交于点则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·陕西高三其他模拟（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为r，