人教考向49 二项分布与正态分布-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题.doc

考向49 二项分布与正态分布
1．（2021·全国·高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（ ）
A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大
B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5
C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等
D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等
【答案】D
【分析】
由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.
【详解】
对于A，为数据的方差，所以越小，数据在附近越集中，所以测量结果落在内的概率越大，故A正确；
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于的概率与小于的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，所以一次测量结果落在的概率与落在的概率不同，故D错误.
故选：D.
2．（2021·天津·高考真题）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．
【答案】
【分析】
根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.
【详解】
由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；
则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.
故答案为：；.
1.判断随机变量X服从二项分布的条件(X～B(n，p))
(1)X的取值为0,1,2，…，n.
(2)P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n，p为试验成功的概率)．
提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布．
2. 二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．
3.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．
4.在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．
5.解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验独立重复地进行了n次．
6.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率．解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n，p→写出二项分布的分布列→将k值代入求解概率．
7．利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率，其实质是求在某一取值范围内的概率，一般转化为几个互斥事件发生的概率的和，或者利用对立事件求概率．
8.二项分布中的概率最值问题　　
一般地，若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，其中0<p<1，则有＝＝1＋(1≤k≤n)，当且仅当k≤(n＋1)p时，P(X＝k)≥P(X＝k－1)，所以P(X＝k)在(n＋1)p的左侧严格递增，右侧严格递减，故有：
(1)如果(n＋1)p>n，则当k取n时，P(X＝k)最大．
(2)如果(n＋1)p是不超过n的正整数，则当k＝(n＋1)p－1和(n＋1)p时，P(X＝k)都达到最大值．
(3)如果(n＋1)p是不超过n的非整数，那么当k＝[(n＋1)p]时([(n＋1)p]表示不超过(n＋1)p的最大整数)，P(X＝k)最大．
9.求二项分布的最值的方法：①根据ξ～B(n，p)，列出分布列P(ξ＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2,3，…，