人教版2021届大题优练6 立体几何 教师版.docx

立体几何
大题优练6
优选例题
例1．已知四边形，，，．现将沿边折起，使得平面平面，．点在线段上，平面将三棱锥分成两部分，．

（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1），，即为等边三角形，
由，知为中点，，
取中点﹐连接，则，
平面平面，平面平面，
平面，面，，
又，，
平面，平面，，
又，平面．
（2）为的中点，的边长为，．
由（1）知平面，
又为的中点，到平面的距离为，
连接，
由（1）知：，，
，，，
∴，
由（1）知，平面，面，
，则，
设到平面的距离为，由，得，
即，
到平面的距离为．
例2．如图，四边形是边长为的正方形，，将三角形沿折起使平面平面．
（1）若为上一点，且满足，求证：；
（2）若二面角的余弦值为，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为面面，面面，面，，
所以面，
又面，所以，
又，，所以面，
又面，所以．
（2）取中点，连接OP，
因为，所以．
又平面平面，所以平面．
以为坐标原点，分别以方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则有，，，，
可得，，，
设为平面的一个法向量，
则有，即，
不妨令，则；
设为平面的一个法向量，
则有，即，
不妨令，则，
因为，可得，解得，
所以．
例3．如图，在三棱锥中，，，．
（1）证明：；
（2）有三个条件；
①；
②直线与平面所成的角为；
③二面角的余弦值为．
请你从中选择一个作为条件，求直线与平面所成的角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）选任何一个，结果均为．
【解析】（1）取中点，连接，，则，
又，，，
所以，所以，所以，
，，平面，
所以平面，
又平面，所以．
（2）在上取点，使得，连接，，
由于与是平面内相交直线，所以平面，
以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，因此，同理．
选①，，则是等边三角形，，，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量是，
则，取，则，即，
记直线与平面（即平面）所成的角为，
则．
选②，由平面，得是（即）与平面所成的角，
所以，，
以下同选①．
选③，作，垂足为，连接，
由平面，平面，所以，
又，平面，而平面，所以，
所以是二面角，即二面角的平面角，
已知，则，，
所以，
以下同选①．
模拟优练
1．在三棱柱中，平面平面，，，，点，分别为、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由题意，为等边三角形且分别为的中点，
∴面面，面，面面，
∴面，
而面，即，
又∵，，即，
∴，
又，∴平面．
（2）为中点，连接、，则为中位线，
由（1）知：面，
∴在中，，，
则，
∴，，
而，
若到平面的距离为h，∴，
则，即到平面的距离为．
2．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为平面平面，平面平面，且，
所以平面，
又因为平面，所以，
因为，，平面，平面，
所以平面．
（2）如图，取中点，连接，，
因为平面平面，为等腰直角三角形，所以平面．
易知三条直线两两垂直，
分别以为轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，，，，
设平面的法向量为，则，
所以，令，得，
由（1）知平面，所以平面的法向量为，
，
由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
3．如图①，在等腰三角形中，，，，满足，．将沿直线折起到的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥，点满足．