人教版第8讲 函数模型及其应用（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第8讲 函数模型及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.指数、对数、幂函数模型性质比较
　　函数
性质　　　
y＝ax
(a>1)
y＝logax
(a>1)
y＝xn
(n>0)
在(0，＋∞)
上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图像
的变化
随x的增大逐渐表现为与y轴平行
随x的增大逐渐表现为与x轴平行
随n值
变化而
各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
2.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
与指数函数相关的模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与对数函数相关的模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
与幂函数相关的模型
f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)
考点和典型例题
1、利用函数图像刻画实际问题的变化过程
【典例1-1】（2022·四川攀枝花·三模（理））中央经济工作会议将做好“碳达峰、碳中和”工作列为2022年的重点任务之一，要求持续提升能源利用效率，加快能源消费方式转变．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（       ）．
A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km
B．甲车以80km/h的速度行驶1h，消耗约10L汽油
C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．某城市机动车最高限速80km/h，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【详解】
对于A：当乙车速度大于时，乙车车每消耗1L汽油行驶的里程都超过了，所以A错误；
对于B：甲车以80km/h的速度行驶时，燃油效率为，则行驶1h消耗约8L汽油，所以B错误；
对于C：以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中，甲车消耗汽油最少，所以C错误；
对于D：机动车最高限速80km/h相同条件下，丙车比乙车燃油效率高，故更省油，所以D正确.
故选：D.
【典例1-2】（2021·陕西·榆林市第十中学高二阶段练****文））2020年春季，新冠肺炎疫情在全球范围内相继爆发，因为政治制度、文化背景等因素的不同，各个国家疫情防控的效果具有明显差异、如图是西方某国在60天内感染新冠肺炎的累计病例人数y（万人）与时间t（天）的散点图，则下列最适宜作为此模型的回归方程的类型是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
根据散点图，可以看出，散点大致分布在一条“指数型”函数曲线附近，
选项A对应的“直线型”的拟合函数；
选项B对应的“幂函数型”的拟合函数；
选项D对应的“对数型”的拟合函数；
故选：C.
【典例1-3】（2022·河南郑州·高二阶段练****文））如图，某池塘里浮萍的面积y（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法：
①浮萍每月的增长率为1；
②第5个月时，浮萍面积就会超过；
③浮萍每月增加的面积都相等；
④若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则，其中正确的说法是（       ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【详解】
因为图像过，所以由，所以，故原题中函数关系为
对于①：，所以每个月的增长率为1，故①正确；
对于②：当时，，故②正确；
对于③：第二个月比第一个月增加
第三个月比第二个月增加，故③错误；
对于④：由题，所以，所以，故④正确；
故选：C
【典例1-4】（2022·新疆吐鲁番·高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（       ）
A．浮萍每月的增长率为2
B．浮萍每月增加的面积都相等
C．第4个月时，浮萍面积超过
D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则
【答案】B
【详解】
解：图象可知，函数过点，
，
函数解析式为，
浮萍每月的增长率为，故选项A正确，
函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，
当时，，故选项C正确，
对于D选项，，，，，
又，，故选项D正确，
故选：B．
2、已知函数模型解决实际问