人教版第20练 数列综合（解析版）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第20练 数列综合
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．数列的前项和，首项为1．对于任意正整数，都有，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题设时，是首项为1，公比为2的等比数列，故且，
所以，则，
故时，是首项为14，公差为-2的等差数列，故且，
所以.
故选：C．
2．数列的前n项和为，且，则（       ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】D
【详解】
∵，故
故
.
故选：D.
3．已知数列满足，，记的前项和为，的前项和为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为，，
所以当为奇数时，，，即当为奇数时，；当为偶数时，.
所以
所以，
所以
.
故选：B.
4．若数列满足：若，则，则称数列为“等同数列”．已知数列满足，且，若“等同数列”的前项和为，且，，，则（       ）
A．4711 B．4712 C．4714 D．4718
【答案】D
【详解】
由得，则，
故,所以，，，
所以，所以，因为，
所以，解得，同理得，
，，…，故数列是以3为周期的数列，
所以，
故选:D．
5．已知数列，的通项公式分别为，，现从数列中剔除与的公共项后，将余下的项按照从小到大的顺序进行排列，得到新的数列，则数列的前150项之和为（       ）
A．23804 B．23946 C．24100 D．24612
【答案】D
【详解】
因为，，，故数列的前项中包含的前项，故数列的前150项包含的前项排除与公共的8项.
记数列，的前项和分别为，，
故选：D.
6．已知数列中，，，数列的前n项和为，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题得，，又，
所以.所以，可得.所以数列是递增数列.
又，所以，所以
，所以，又，所以，所以，所以.
故选：A.
7．已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为，故数列为等比数列，又，所以；
则；
所以.
故选：D.
8．如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，以此类推，记第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则n的最小值为（       ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】
解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为，第2代“勾股树”中，正方形的个数为，…，
以此类推，第n代“勾股树”中所有正方形的个数为，即，
所以，
因为，所以数列为递增数列，
又，，
所以n的最小值为9．
故选：C．
9．已知数列的前n项和为，且，则（       ）
A．119 B． C． D．
【答案】B
【详解】
由余弦函数的性质知，，
又，
所以
．
故选：B．
10．已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和，若对任意，且，总有恒成立，则实数的最小值为（       ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
当 时，   ，解得
当 时，
整理得： ，又 各项均为正数

是以 为首项，公差 的等差数列

令
令




的最小值为
故选：B
二、多选题
11．已知数列满足，，则下列说法正确的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】
，A正确；
对于，有，两式相加得，C正确；
由知，则，B错误；
由偶数项均为可得为偶数时，，则
，则，D正确.
故选：ACD.
12．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”（下图所示的是一个4层的三角跺）.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的球的总数为，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】
由题意得，
，
以上n个式子累加可得
，
又满足上式，所以，故A错误；
则，
得，故B正确；
有，故C正确；
由，
得，
故D正确.
故选：BCD.
三、填空题