人教版第24讲 空间向量及其应用（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第24讲 空间向量及其应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
空间中既有大小又有方向的量称为空间向量
相等向量
大小相等、方向相同的向量
相反向量
大小相等、方向相反的向量
共线向量
(或平行向量)
如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(或共线)
共面向量
空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
由共面向量定理可得判断空间中四点是否共面的方法：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y.
(3)空间向量基本定理：如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}称为空间向量的一组基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
4.空间向量数量积的运算律
(1)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)交换律：a·b＝b·a；
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
x1x2＋y1y2＋z1z2
共线
b＝λa(a≠0，λ∈R)
x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0
模
|a|
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
6.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.
(2)平面的法向量：如果α是空间中的一个平面，n是空间的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α.
7.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为v1，v2
l1∥l2
v1∥v2⇔v1＝λv2
l1⊥l2
v1⊥v2⇔v1·v2＝0
直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n
l∥α
v⊥n⇔v·n＝0
l⊥α
v∥n⇔n＝λv
平面α，β的法向量分别为
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
n1，n2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
1.在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点.
2.在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点.
考点和典型例题
1、空间向量的运算及共线、共面定理
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练****已知向量＝(2m＋1，3，m－1)，＝(2，m，－m)，且，则实数m的值等于（       ）
A． B．－2
C．0 D．或－2
【答案】B
【详解】
当m＝0时，=(1，3，－1)，＝(2，0，0)，
与不平行，∴m≠0，∵，
∴，解得m＝－2.
故选：B
【典例1-2】（2021·河北·沧县中学高三阶段练****若三向量共面，则实数（       ）
A．3 B．2 C．15 D．5
【答案】D
【详解】
∵，∴与不共线，
又∵三向量共面，则存在实数m，n使
即，解得．
故选：D．
【典例1-3】（2020·全国·高三专题练****设x，，向量，，且，，则（       ）
A． B． C．3 D．4
【答案】C
【详解】
因为向量，，且，，
所以，，
解得，
所以向量，，
所以，
所以，
故选：C
【典例1-4】（2022·全国·高三专题练****多选）若构成空间的一个基底，则下