人教版第25讲 直线的方程（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

直线的方程
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角；倾斜角的取值范围是[0，π).
(2)斜率公式
①一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，称直线l的斜率不存在.
②若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则当x1≠x2时，直线l的斜率为k＝；当x1＝x2时，直线l的斜率不存在.
2.直线的方向向量、法向量
(1)直线的方向向量的定义
一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
(2)直线方向向量的有关结论
①如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，则＝(x2－x1，y2－y1)是直线l的一个方向向量.
②如果直线l的斜率为k，则(1，k)是直线l的一个方向向量.
③若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝.
(3)直线的法向量的定义
一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方程
适用条件
斜截式
纵截距、斜率
y＝kx＋b
与x轴不垂直的直线
点斜式
过一点、斜率
y－y0＝k(x－x0)
两点式
过两点
＝
与两坐标轴均不垂直的直线
截距式
纵、横截距
＋＝1
不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
所有直线
考点和典型例题
1、直线的倾斜角与斜率
【典例1-1】过点的直线的倾斜角为（       ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【详解】
过A、B的斜率为，则该直线的倾斜角为，
故选：A．
【典例1-2】已知，，过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，则的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为过点且斜率为的直线l与线段AB有公共点，
所以由图可知，或，
因为或，
所以或，
故选：D
【典例1-3】直线的倾斜角为（       ）
A．30° B．45° C．60° D．135°
【答案】A
【详解】
直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，因为，
则.
故选：A.
【典例1-4】如图，设直线，，的斜率分别为，，，则，，的大小关系为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由斜率的定义可知，.
故选：A．
【典例1-5】直线过点，其倾斜角为，现将直线绕原点O逆时针旋转得到直线，若直线的倾斜角为，则的值为（       ）
A． B． C．2 D．-2
【答案】B
【详解】
由题，，直线的倾斜角为，故
故选：B
2、求直线的方程
【典例2-1】过点且与直线垂直的直线方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为，即，
故选：B．
【典例2-2】已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，
令，所以直线与轴的交点为，
令，所以直线与轴的交点为，
所以，
当且仅当即时取等，所以此时直线为：.
故选：C.
【典例2-3】已知直线的倾斜角为，且经过点，则直线的方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题意知：直线的斜率为，则直线的方程为.
故选：C.
【典例2-4】直线过点，且轴正半轴､轴正半轴交于两点，当面积最小时，直线的方程是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
根据题意，直线不与轴垂直，则其斜率存在，设为， 则，
因此，直线，
令则有，则，
令则有，则.
因此，
当且仅当即时取等（舍去），
故面积最小值为4，此时，即.
故选：C.
【典例2-5】数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位