人教高中数学第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根） (精讲+精练）（教师版）.docx

第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根） (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点的个数
高频考点二：证明唯一零点问题
高频考点三：根据零点情况求参数
①利用最值（极值）研究函数零点问题
②利用数形结合法研究函数的零点问题
③构造函数研究函数零点问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第06讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的零点
（1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点．
（2）三个等价关系
方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点．
2、函数零点的判定
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
注意：单调性+存在零点=唯一零点
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高二）已知函数的定义域为，部分对应值如下表：
的导函数的图象如图所示，
则下列关于函数的命题：
① 函数是周期函数；
② 函数在是减函数；
③ 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④ 当时，函数有4个零点．
其中真命题的个数是
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
①显然错误；③容易造成错觉，tmax＝5；④错误，f(2)的不确定影响了正确性；②正确，可由f′(x)<0得到．
2．（2022·甘肃·金昌市教育科学研究所高三阶段练****文））已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
对原函数求导得，，
因为函数有两个极值点，
所以有两个不等实根，即有两个不等实根，
亦即有两个不等实根.
令，则
可知在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又因为当时，，当时，，
所以，解得，
即a的范围是.
故选：B
3．（2022·全国·高二）若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
因为函数仅有一个零点，
所以与图像只有一个交点.
对于，求导得.令，得或.
所以当时单调递增；当时单调递减；当时单调递增.
所以当时函数有极大值，当时函数有极小值.
作与的图像如下图所示.
由图可知，当与图像只有一个交点时，或，即或.
故选:D
4．（2022·甘肃武威·模拟预测（文））函数有三个零点，则实数的取值范围是（     ）
A．（﹣4，4） B．[﹣4，4]
C．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞） D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）
【答案】A
由题意，函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以函数在处取得极大值，在处取得极小值，
要使得函数有三个零点，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故选：A．
5．（2022·江苏淮安·高二期末）已知函数与，则它们的图象交点个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】B
令，则，由，得，
∴当时，，当时，.
∴当时，取得最小值，
∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点.
故选：B.
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：判断、证明或讨论函数零点（根）的个数
1．（2022·全国·高二）设函数f (x)＝x－ln x，则函数y＝f (x)（       ）
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【答案】D
当x∈时，函数图象连续不断，且f ′(x)＝－＝<0，所以函数f (x)在上单调递减．
又＝＋1>0，f (1)＝>0，f (e)＝e－1<0，所以函数f (x)有唯一的零点在区间(1，e)内．
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练****文））已知函数，其中为自然对数的底数，……，则的零点个数为（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
由题意得，，∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴.∵，
∴存在唯一.使得，即在上存在唯一零点.
∵，
∴存在唯一，使得，即在上存在唯一零点.
综上，有且只有两个零点.
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练****理））函数的零点个数为（