人教高中数学第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题 (练）（教师版）.docx

第07讲 向量法求距离、探索性及折叠问题(精练）
A夯实基础
一、单选题
1．在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
建立空间直角坐标系，如图，
则，，，所以，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离.
故选：C.
2．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
故，，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
故到平面的距离为，
故选：A.
3．在矩形 中， 分别为各边的中点，现沿着虚线折叠得到一个几何体，使得点 重合于点 ，则该几何体的外接球表面积是（　　）
A．18π B．16π C．20π D．22π
【答案】C
解：折叠后 重合于， 重合于，平面与平面沿折叠后重合后得平面 ，得到如图，
又因为 垂直，,即 垂直 ，所以⊥平面 ， ⊥平面 ，所以 三点共线，
所以，
由该三棱锥对棱相等，所以三棱锥是长方体内的一部分，
设长方体长宽高分别为 外接球半径为 ，则，
因为，所以，所以，
所以外接球表面积为，故选:C
4．长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
，，
设与的公垂线的一个方向向量为，
则，取，得，，即，
又，
所以异面直线与之间的距离为．
故选：D．
5．已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），
所以，
设平面ABC的一个法向量为，
则，即，
令，得，则，
所以，
故选：C
6．由下列平面图形沿虚线折叠围成的几何体中存在面面垂直的有（       ）
A．②③ B．①③ C．②④ D．①④
【答案】C
①沿虚线折叠围成的几何体是正三棱锥，没有面面垂直；
②沿虚线折叠围成的几何体三棱锥背面的侧面和底面垂直，②符合题意；
③沿虚线折叠围成的几何体是三棱柱，当是直三棱柱是才存在面面垂直；
④沿虚线折叠围成的几何体是长方体，存在面面垂直，符合题意.
故选：C
7．如图，菱形的边长为，，将其沿着对角线折叠至直二面角，连接，得到四面体，则此四面体的外接球的表面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
取的中点，连接、，
因为、都是边长为的等边三角形，且为的中点，则，，
所以，二面角的平面角为，且，
设、分别为、的外心，
过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设，
易知，同理可得，
，，，平面，
平面，，同理可得，
所以，四边形是边长为的正方形，
由正弦定理可得，，
因此，四面体的外接球的表面积为.
故选：D.
8．已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法错误的是（        ）
A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为
C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为
【答案】D
如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所，．设，则，．故A到直线BE的距离，故A对；
易知，平面的一个法向量，则点O到平面的距离，故B对；
，，．设平面的法向量为，则，所以，令，得，，所以，所以点到平面的距离
．因为平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C对；
因为，所以，，则，所以点P到AB的距离，故D错．
故选：D
二、多选题
9．已知直线的方向向量，为直线上一点，若点P(1，0，2)为直线外一点，则P到直线上任意一点Q的距离可能为（       ）
A．2 B． C． D．1
【答案】AB
由题设条件可知，，
所以，
设与的夹角为，
则，
所以，
所以点到直线的距离为，
P到直线上任意一点Q的距离要大于等于，
故选：AB.
10．已知，，平面，则（       ）
A．点A到平面的距离为 B．与平面所成角的正弦值为
C．点A到平面的距离为 D．与平面所成角的正弦值为
【答案】BC
因为平面，所以是平面的一个法向量，
所以点A到平面的距离为，故A错误，C正确；
与平面所成角的正弦值为，故B正确，D错误．