人教高中数学第8章 §8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系.docx

§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求　1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离
相切
相交
图形
量化
方程观点
Δ<0
Δ＝0
Δ>0
几何观点
d>r
d＝r
d<r
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形
量的关系
外离
d>r1＋r2
外切
d＝r1＋r2
相交
|r1－r2|<d<r1＋r2
内切
d＝|r1－r2|
内含
d<|r1－r2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(　√　)
(2)若两圆相切，则有且只有一条公切线．(　×　)
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　√　)
(4)在圆中最长的弦是直径．(　√　)
教材改编题
1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案　B
解析　圆心为(0,0)，到直线y＝x＋1即x－y＋1＝0的距离d＝＝，而0<<1，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．
2．过点(0,1)且倾斜角为的直线l交圆x2＋y2－6y＝0于A，B两点，则弦AB的长为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
答案　D
解析　过点(0,1)且倾斜角为的直线l：y－1＝x，即x－y＋1＝0.
∵圆x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，
∴圆心坐标为(0,3)，半径r＝3，圆心到直线l的距离d＝＝1，
∴直线被圆截得的弦长|AB|＝2×＝4.
3．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.
答案　±2或0
解析　两圆的圆心距d＝，
由两圆相切(外切或内切)，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0.
题型一　直线与圆的位置关系
命题点1　位置关系的判断
例1　直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为(　　)
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
答案　C
解析　方法一　直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，
该直线恒过定点(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二　圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交．
思维升华　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题点2　弦长问题
例2　(1)(多选)直线y＝kx－1与圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝36相交于A，B两点，则AB的长度可能为(　　)
A．6 B．8 C．12 D．16
答案　BC
解析　因