人教高中数学第8章 §8.9　圆锥曲线中求值与证明问题.docx

§8.9　圆锥曲线中求值与证明问题
题型一　求值问题
例1　(12分)(2021·新高考全国Ⅰ)在平面直角坐标系Oxy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程； [切入点：双曲线定义]
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. [关键点：利用等式列式]
教师备选
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M(0,2)且|MF|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足|AM|＝|BN|，求l的方程．
解　(1)由题意，可得
解得a＝2，b＝，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)根据题意可得，点A必在点B的上方，
才有|AM|＝|BN|.
当l的斜率不存在时，|AM|＝2－，
|BN|＝，|AM|≠|BN|，不合题意，故l的斜率必定存在．
设l的方程为y＝kx＋2，
由
得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，
Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，
即k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
设N(x0，y0)，
则x0＝＝－.
由|AM|＝|BN|可得，|AB|＝|MN|，
所以|x1－x2|＝|x0－0|，
则＝|x0|，
即＝，
整理得k2＝>，
故k＝±，l的方程为y＝±x＋2.
思维升华　求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．
跟踪训练1　(2021·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，求直线l的方程．
解　(1)易知点F(c，0)，B(0，b)，
故|BF|＝＝a＝，
因为椭圆的离心率为e＝＝，
所以c＝2，b＝＝1，
因此，椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设点M(x0，y0)为椭圆＋y2＝1上一点，
先证明直线MN的方程为＋y0y＝1，
联立消去y并整理得x2－2x0x＋x＝0，Δ＝4x－4x＝0，
因此，椭圆＋y2＝1在点M(x0，y0)处的切线方程为＋y0y＝1.
在直线MN的方程中，令x＝0，可得y＝，由题意可知y0>0，即点N，
直线BF的斜率为kBF＝－＝－，所以直线PN的方程为y＝2x＋，
在直线PN的方程中，令y＝0，可得x＝－，
即点P，
因为MP∥BF，则kMP＝kBF，
即＝＝－，
整理可得(x0＋5y0)2＝0，
所以x0＝－5y0，所以＋y＝6y＝1，
因为y0>0，故y0＝，x0＝－，
所以直线l的方程为－x＋y＝1，
即x－y＋＝0.
题型二　证明问题
例2　(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
(1)解　由题意得，
椭圆半焦距c＝且e＝＝，
所以a＝，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明　由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
必要性：
若M，N，F三点共线，
可设直线MN：y＝k(x－)，
即kx－y－k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
联立
可得4x2－6x＋3＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|MN|＝·＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋b(kb<0)，
即kx－y＋b＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以b2＝k2＋1，
联立
可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，
所以|MN|＝·＝
＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN过点F(，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
高考改编