人教高中数学第09讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题 (精讲）（教师版）.docx

第09讲 拓展四：三角形中周长（定值，最值，取值范围）问题 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：周长（边长）定值
高频考点二：周长（边长）最值
高频考点三：周长（边长）取值范围
第三部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、基本不等式
核心技巧：利用基本不等式，在结合余弦定理求周长取值范围；
2、利用正弦定理化角
核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：周长（边长）定值
1．（2022·河南洛阳·高二阶段练****理））在中，角的对边分别为，.
(1)求角；
(2)若，面积，求△的周长.
【答案】(1)；(2)
(1)在中，∵，
∴由正弦定理可得．
又∵，，
∴．
整理得．
∵，∴，．∴．
(2)∵，∴，
即，
亦即．
又由余弦定理知，∴．
∴．∴．
∴的周长为．
2．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））△的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
(1)若，求；
(2)当A取得最大值时，求△的周长．
【答案】(1)(2)
(1)由正弦定理得 ，即，解得 ，
∵,     ∴，
∴；
(2)由余弦定理得，
∴，当且仅当时，等号成立，
此时，△的周长为.
3．（2022·广东惠州·高三阶段练****已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求B；
(2)若，面积为，求周长.
【答案】(1)(2)
(1)因为，由正弦定理：，
得，
又∵，∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
又∵，∴，即.
(2)由题意知，∴
由余弦定理得，又∵，，
∴
∴，故，
所以的周长.
4．（2022·河南·模拟预测（理））在中，内角，，的对边分别为，，．已知，．
(1)若，求外接圆的面积；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)(2)答案见解析
(1)因为，
所以，
因为，所以，所以
则，则．
因为，所以．
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
则，则外接圆的面积．
(2)由余弦定理可得，
代入数据，得，解得或3．
当时，的周长为；当时，的周长为．
5．（2022·四川绵阳·高一期中）在中，内角的对边分别为，，，已知．
(1)求的值；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)；(2).
(1)解：由已知得：                 
由余弦定理得.
(2)解：，解得，
所以，，            
由余弦定理知 ，
于是，
解得，                      
故的周长为.
6．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在中，
(1)求角A的大小
(2)若BC边上的中线，且，求的周长
【答案】(1)；(2).
(1)由已知，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
在中，因为，
所以；
(2)由，得①，
由（1）知，即②，
在中，由余弦定理得：，
在中，由余弦定理得：，
因为，所以③，
由①②③，得，
所以，
所以的周长.
7．（2022·河南省实验中学高一期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC．
(1)求角B的大小；
(2)若，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求的周长．
【答案】(1)120°(2)
(1)解：因为cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC，
所以1﹣sin2C＝sin2A+1﹣sin2B+sinAsinC，
即sin2B＝sin2A+sin2C+sinAsinC，
由正弦定理得，b2＝a2+c2+ac，
由余弦定理得，cosB，
由B为三角形内角得B＝120°；
(2)由题意得: ，且ABDCBDB＝60°，BD＝1，
所以，
所以（a+c），即ac＝a+c，
因为b＝2，由余弦定理得，b2＝12＝a2+c2﹣2accos120°＝a2+c2+ac，
因为，
所以ac=a+c＝4或ac＝﹣3（舍），
故的周长为．
8．（2022·江苏南通·高一期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且
(1)求A；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)；(2).
(1)由，则，
由正弦定理得：，
在中，故，即，
因为，所以；
(2)由余弦定理得，即，可得，
又，得，则，即，
所以的周长为
高频考点二：周