人教高中数学第13讲 二项式定理 （教师版）.docx

第13讲 二项式定理
真题展示
2022新高考一卷第13题
的展开式中的系数为 　　（用数字作答）．
【思路分析】由题意依次求出中，项的系数，求和即可．
【解析】的通项公式为，
当时，，当时，，
的展开式中的系数为．
故答案为：．
【试题评价】本题考查二项式定理的应用，考查运算求解能力，是基础题．
知识要点整理
知识点一　二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
知识点二　二项展开式的通项
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
知识点三　二项式系数的性质
对称性
在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
与最
大值
增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n
为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值
各二项
式系数
的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
三年真题
一、单选题
1．若，则（    ）
A．40 B．41 C． D．
【答案】B
【详解】令，则，
令，则，
故，
故选：B.
2．在的二项展开式中，第项的二项式系数是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】第项的二项式系数为，
故选：A.
3．在的展开式中，的系数为（    ）．
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【详解】展开式的通项公式为：，
令可得：，则的系数为：.
故选：C.
4．的展开式中x3y3的系数为（    ）
A．5 B．10
C．15 D．20
【答案】C
【详解】展开式的通项公式为（且）
所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：
和
在中，令，可得：，该项中的系数为，
在中，令，可得：，该项中的系数为
所以的系数为
故选：C
5．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【详解】由题意得x3的系数为，故选A．
二、填空题
6．在的展开式中，的系数是__________．
【答案】160
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数是.
故答案为：160.
7．在的展开式中，常数项为__________．
【答案】
【详解】的展开式的通项
令，解得，
故常数项为．
故答案为：.
8．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
【答案】-28
【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解.
【详解】因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为-28
故答案为：-28
9．已知多项式，则__________，___________．
【答案】         
【详解】含的项为：，故；
令，即，
令，即，
∴，
故答案为：；．
10．的展开式中的常数项为______.
【答案】
【详解】由题意的展开式的通项为，
令即，则，
所以的展开式中的常数项为.
故答案为：.
11．在的展开式中，的系数是_________．
【答案】10
【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
12．的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
【答案】
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
13．展开式中的常数项为________.
【答案】
【详解】，
由，得，
所以的常数项为.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为0求得的．
三、双空题
14．已知多项式，则___________，___________.
【答案】     ;     .
【详解】，
，
所以，
，
所以.
故答案为：.
15．设，则________；________．
【答案】         
【详解】的通项为，
令，则，故；
.
故答案为：；.
16．在二项式的展开式中，常数项是_______