人教高中数学第17讲 导数的概念及其运算（解析版）.doc

第17讲 导数的概念及其运算
【基础知识网络图】
导数的概念
导数的概念
导数的概念和运算
初等函数的求导公式
导数的运算法则
导数的运算
复合函数求导
【基础知识全通关】
一：导数的概念：
1．导数的定义：
对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。
即：（或）
【点石成金】：
①增量可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。
函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在
处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
【点石成金】：
函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义：
（1）曲线的切线
曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即：。
(2)导数的几何意义：
函数在点x0的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。
【点石成金】：
①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。
②，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；，切线与轴平行。
(3)曲线的切线方程
如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为：
。
考点二：常见基本函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），
考点三：函数四则运算求导法则
设，均可导
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
考点四：复合函数的求导法则
或
即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。
【点石成金】：
选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【考点研****一点通】
考点01：导数概念的应用
1、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。
【解析】∵
∴
∴。
【变式1-1】已知函数
（1）求函数在x=4处的导数.
（2）求曲线上一点处的切线方程。
【答案】
（1）
，
（2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，
∴所求切线的斜率为。
∴所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。
【变式1-2】求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
【解析】设.
由f(1)=3，故切点为（1，3），
切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
考点02：利用公式及运算法则求导数
2．求下列函数的导数：
（1）； （2）
（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4
【解析】
（1）.
（2）.
（3）∵，∴.
（4）
【变式2-1】求下列函数的导数：
（1）；
（2）
（3）y=6x3―4x2+9x―6
【答案】
（1）.
（2）
∴.
（3）
【变式2-1】求下列各函数的导函数
（1）；（2）y=x2sinx;
（３）y=； （４）y=
【解析】
（1）法一：去掉括号后求导.
法二：利用两个函数乘积的求导法则
=2x(2x－3)+(x2+1)×2
=6x2－6x+2
（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx
（３）=
（4）
=
=
考点03：复合函数的求导问题
3．求下列函数导数.
（1）； （2）；
（3）； （4）.
【解析】
（1），.
.
（2），
∴
（3），.
∴

（4），，
∴
.
【变式3-1】求下列函数的导数：
； （2）
（3）y=ln（x＋）； （4）
【答案】
(1)令,,
（2）令
（3）=＝
（4）

考点04：曲