人教高中数学第八节 函数模型及其应用 教案.doc

第八节　函数模型及其应用
核心素养立意下的命题导向
1.利用给出的具体函数模型解决实际问题，凸显数学运算的核心素养．
2．给出具体实际问题，借助所学基本初等函数的特点，建立恰当的函数模型解决实际问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．几类常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2．三种基本初等函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)
y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的单调性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大，逐渐表现为与y轴平行
随x的增大，逐渐表现为与x轴平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(函数的增长速度)下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是(　　)
A．y＝ex　　　　　　 B．y＝100ln x
C．y＝x100 D．y＝100·2x
答案：A
2．(二次函数模型)某物体一天内的温度T关于时间t的函数解析式为T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为(　　)
A．8 ℃ B．18 ℃
C．58 ℃ D．128 ℃
答案：A
3．(对数函数模型)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．
解析：当v＝12 000时，2 000·ln＝12 000，
∴ln＝6，∴＝e6－1.
答案：e6－1
4．(分段函数模型)某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km，如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是________________．
答案：y＝
二、易错点练清
1．(对函数增长速度理解不深致误)在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x，y最适合的拟合函数是(　　)
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log2x
答案：D
2．(构建函数模型失误)某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为(　　)
A．3.75元/瓶 B．7.5元/瓶
C．12元/瓶 D．6元/瓶
解析：选D　设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)＝80(x－3)(9－
x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值．
3．(计算失误)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得即解得a＝2，b＝－2，所以y＝2log4x－2.
当y＝8时，2log4x－2＝8，解得x＝1 024.
答案：1 024
考点一　应用所给函数模型解决实际问题
[典例]　(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A．60　　　　　　 B．63
C．66