人教高中数学第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 教案.doc

第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
核心素养立意下的命题导向
1.利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝.
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin_α
－sin_α
sin_α
cos_α
cos_α
余弦
cos α
－cos_α
cos_α
－cos_α
sin_α
－sin_α
正切
tan α
tan_α
－tan_α
－tan_α
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(平方关系)若sin α＝，<α<π，则cos α等于(　　)
A.　　 B．－　 　　C．－ 　　　D.
答案：C
2．(商数关系)已知tan α＝2，则的值为________．
答案：3
3．(诱导公式)化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
答案：－sin2α
二、易错点练清
1．(忽视角所在的象限)已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案：A
2．(忽视诱导公式变名、变号的条件)计算下列各式的值：
(1)sin＝________，
(2)tan＝________.
答案：(1)　(2)
3．(忽视对k的讨论)已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
解析：当k为奇数时：A＝－＝－2.
当k为偶数时：A＝＋＝2.
答案：{－2,2}
考点一　同角三角函数的基本关系
考法(一)　知弦求弦、切或知切求弦
[例1]　(1)设cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　)
A.　　　　　　　 B．－
C. D．－
(2)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A. B．－
C. D．－
[解析]　(1)∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，∴sin 80°＝＝，∴tan 100°＝－tan 80°＝－.故选B.
(2)法一：因为α为第四象限角，
故cos α＝＝ ＝，
所以tan α＝＝＝－.
法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－，
所以可在α的终边上取一点P(12，－5)，
则tan α＝＝－.故选D.
[答案]　(1)B　(2)D
[方法技巧]
知弦求弦
利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解
知弦求切
常通过平方关系，与对称式sin α±cos α，sin α·cos α建立联系，注意tan α＝的灵活应用
知切求弦
先利用商数关系得出sin α＝tan α·cos α或cos α＝，然后利用平方关系求解
考法(二)　知切求f(sin α、cos α)的值
[例2]　(1)已知tan(3π＋α)＝3，则＝(　　)
A. B.
C. D．2
(2)已知0<α<，sin α＝，则的值为________．
[解析]　(1)∵tan(3π＋α)＝3，∴tan α＝3，
∴＝＝＝.故选B.
(2)∵0<α<，sin α＝，∴cos α＝，∴tan α＝.
∴＝＝＝＝＝＝＝20.
[答案]　(1)B　(2)20
[方法技巧]
“切弦互化”的技巧
(1)弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：
①sin α，cos α的二次齐次式(如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；
②sin α，cos α的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．
(2)切化弦：利用公式tan α＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．
[提醒]　知弦求弦、切或知切求弦时要注意判断角所在的象限，不要弄错切、弦的符号．
考法(三)　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用
[例3]　(1)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)
A. B．±
C．－ D．－
(2)(多选)(2021·滨州模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　)
A．sin θ＝ B．