人教高中数学第二十讲直线与平面、平面与平面垂直解析版.docx

第二十讲：直线与平面、平面与平面垂直
【考点梳理】
1.直线与平面垂直判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质
定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
⇒α⊥β
文字语言
图形语言
符号语言
性质
定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
【典型题型讲解】
考点一：直线与平面垂直的判定定理及性质
【典例例题】
例1.（2022·广东珠海·高三期末）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，P在平面的投影为边的中点O，，，，．
求证：平面.
【解析】在中，由余弦定理可得：，
，∴，，
由题易知平面，平面，
∴，
∵，∴C平面，
∵四边形为平行四边形，
∴，∴平面．
例2．（2022·广东东莞·高三期末）如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点.
证明：；
【解析】如图，连接SO和OE，
因为是正四棱锥，所以平面ABCD，
又因为平面ABCD，所以
因为ABCD是正方形，所以，
又因为点O，E分别是BD，BC中点，所以∥，
所以
又因为，OE、平面SOE，
所以平面SOE，
因为平面SOE，所以.
【方法技巧与总结】
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；
③菱形、正方形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
④平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
【变式训练】
1.如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，．
证明：平面；
【解析】∵为圆台下底面圆的直径，是圆上异于的点，
故
又∵，，
∴
∵，
∴，
∴
∴，又∵，，平面
∴平面
2.如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面．证明：平面
【解析】证明：由题设，，又面面，面面，面，
所以面，而面，则，
由得：，
又，则平面．
3.如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，D为PC上一点，且．
（1）若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比；
（2）若，，证明：平面ABD．
【解析】（1）由题意有．
∵为的中点，∴．
又，∴点到平面的距离为．
∴．
∴．
∴三棱锥与三棱锥的体积之比为．
（2）证明：∵平面，平面，∴．
∵，∴．
∵，，平面，
∴平面．
又平面，∴．
在中，由，，得．
又，得．∴．
∵，∴．又，∴．
∴，即．
又，平面ABD，∴平面．
4.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．
（1）证明：平面；
（2）点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．
【解析】（1）证明：取的中点，记，连接，，，
在中，，分别是，的中点，所以，
同理可得，
又因为，，
所以平面平面，
又平面，所以平面；
（2）因为底面是菱形，所以，
因为，，所以，则，
又因为是的中点，所以，
因为，所以平面，又平面，
所以，即
因为，，所以，
则，
则，所以，即
又因为，
所以平面，
若平面，
则与重合．故．
5．（2022·广东深圳·高三期末）如下图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形．
证明：；
【解析】证明：如下图所示，取的中点，连接，
，
为等边三角形，，
又，平面，
平面，.
6.如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．证明：
【解析】证明：过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，
，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面
7.如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，．
若，试证