人教高中数学第三节 第3课时 难点专攻夺高分——与圆有关的综合问题 教案.doc

第3课时　难点专攻夺高分——与圆有关的综合问题
圆的方程是高中数学的一个重要知识点，随着高考改革的变化，圆锥曲线的考查难度逐渐降低，而圆作为圆锥曲线中的一种特殊形式，命题的热度越来越高，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用．
题型一　与圆有关的轨迹问题
[典例]　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[解]　(1)法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，
由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.
由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
法三：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，所以·＝0.
因为A(－1,0)，B(3,0)，C(x，y)，
所以＝(x＋1，y)，＝(x－3，y)，
所以·＝(x＋1)(x－3)＋y2＝x2－2x－3＋y2＝0，
所以直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
[方法技巧]　求与圆有关的轨迹问题的方法
直接法
直接根据题目提供的条件列出方程
定义法
根据圆、直线等定义列方程
几何法
利用圆的几何性质列方程
代入法
找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
[针对训练]
阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝， 求|PA|2＋|PB|2的最小值．
解：以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，
则A(－1,0)，B(1,0)．
设P(x，y)，因为＝，所以＝，
两边平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，
即(x－3)2＋y2＝8.
所以点P的轨迹是以(3,0)为圆心，2为半径的圆，
则|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋y2＋(x－1)2＋y2
＝2(x2＋y2)＋2.
法一：因为x2＋y2－6x＋1＝0，所以|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋6x－1－x2)＋2＝12x.
由y2＝8－(x－3)2≥0，得3－2≤x≤3＋2，
所以36－24≤12x≤36＋24，
由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值为36－24.
法二：由(x－3)2＋y2＝8，
可设(θ∈[0,2π))，
则|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2＝2[(2cos θ＋3)2＋(2sin θ)2]＋2＝24cos θ＋36.
因为θ∈[0,2π)，所以－1≤cos θ≤1，
所以36－24≤24cos θ＋36≤36＋24，
由此可知|PA|2＋|PB|2的最小值为36－24.
题型二　与圆有关的范围或最值问题
考法(一)　几何法求最值
[例1]　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则
(1)的最大值为______；
(2)y－x的最大值和最小值分别为_____________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_________________________________________．
[解析]　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心， 为半径的圆．
(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时(如图)，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为.
(2)y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距．
如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取