人教高中数学解密04 数列求和及综合问题（分层训练）（解析版）.doc

解密04 数列求和及综合问题
A组 考点专练
一、选择题
1.已知Tn为数列的前n项和，若m>T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　)
A.1 026 B.1 025 C.1 024 D.1 023
【答案】C
【解析】因为＝1＋，所以Tn＝n＋1－，
则T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－，又m>T10＋1 013，
所以整数m的最小值为1 024.
2.在等差数列{an}中，a3＋a5＝a4＋7，a10＝19，则数列{ancos nπ}的前2 020项的和为(　　)
A.1 009 B.1 010 C.2 019 D.2 020
【答案】D
【解析】设{an}的公差为d，则有
解得∴an＝2n－1，设bn＝ancos nπ，
则b1＋b2＝a1cos π＋a2cos 2π＝2，
b3＋b4＝a3cos 3π＋a4cos 4π＝2，…，
∴数列{ancos nπ}的前2 020项的和S2 020＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(b2 019＋b2 020)＝2×1 010＝2 020.
3.数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)
A. B.2 C. D.
【答案】C
【解析】对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，
则an＋1－an＝n＋1，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，
则＝＝2，
所以＋＋…＋＝2[＋＋…＋]＝2×＝.
4.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝Sn＋2an＋1，数列的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为(　　)
A.数列{an＋1}是等差数列
B.数列{an＋1}是等比数列
C.数列{an}的通项公式为an＝2n－1
D.Tn<1
【答案】BCD
【解析】由Sn＋1＝Sn＋2an＋1，得an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1，可化为an＋1＋1＝2(an＋1).由a1＝1，得a1＋1＝2，则数列{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.则an＋1＝2n，即an＝2n－1.由＝＝－，得Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－<1.所以A错误，B，C，D正确.故选BCD.
5.(多选题)已知数列{an}满足an＋1＋an＝n·(－1)，其前n项和为Sn，且m＋S2 019＝－1 009，则下列说法正确的是(　　)
A.m为定值 B.m＋a1为定值
C.S2 019－a1为定值 D.ma1有最大值
【答案】BCD
【解析】当n＝2k(k∈N*)时，由已知条件得a2k＋a2k＋1＝2k·(－1)k(2k＋1)，所以S2 019＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 019＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a2 018＋a2 019)＝a1－2＋4－6＋8－10＋…－2 018＝a1＋1 008－2 018＝a1－1 010，所以S2 019－a1＝－1 010.m＋S2 019＝m＋a1－1 010＝－1 009，所以m＋a1＝1，所以ma1≤＝，当且仅当m＝a1＝时等号成立，此时ma1取得最大值.故选BCD.
二、填空