人教高中数学解密14 数列的通项公式常考求法 (解析版）.docx

解密14 数列的通项公式常考求法
【考点解密】
1．Sn和an关系法求数列通项（作差法）：
(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
2．累加法
当出现an＋1＝an＋f (n)时，用累加法求解．
3．累乘法
当出现＝f (n)时，用累乘法求解．
4．构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型1的标准形式；
2、直接记忆，解题时直接在草稿纸上构造好；
3、构造等比数列
类型2：用“同除法”构造等差数列
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型2的标准形式；
2、两边同除；
3、构造数列为等差数列
类型3：用两边同时取倒数构造等差数列（1）
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；
2、两边同时取倒数转化为＝·＋的形式，化归为bn＋1＝pbn＋q型；
3、构造数列为等差数列.
类型3：用“同除法”构造等差数列（2）
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；
2、两边同除；
3、构造出新的等差数列
类型4：用“待定系数法”构造等比数列
an＋1＝pan＋qan－1
1、注意判断题目给的已知条件是否符合类型3的标准形式；
2、可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根；
3、若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}．
【方法技巧】
【点睛】结论点睛：常见的裂项公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【核心题型】
题型一：累加法求通项公式
1．（2022·上海虹口·统考一模）已知函数，数列满足，且（为正整数）．则（    ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】将进行整理，可以求出其通项公式，再代入可得答案.
【详解】由，
，
故选：C
2．（2022·全国·模拟预测）在数列中，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形给定的等式，利用累加法及裂项相消法求解作答.
【详解】因为，则，
当时，
，显然满足上式，即有，
所以．
故选：A
3．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）南宋数学家杨辉为我国古代数学研究作出了杰出贡献，他的著名研究成果“杨辉三角”记录于其重要著作《详解九章算法》，该著作中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第15项为（    ）
A．196 B．197 C．198 D．199
【答案】C
【分析】根据二阶等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用累加法计算即可得.
【详解】设该数列为，则；
由二阶等差数列的定义可知，
所以数列是以为首项，公差的等差数列，
即，所以
将所有上式累加可得，所以；
即该数列的第15项为.
故选：C
题型二：累乘法求通项公式
4．（2022秋·宁夏银川·高三校考阶段练****已知数列满足，，则数列的通项公式为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再利用累乘法计算可得；
【详解】解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：D．
5．（2022·河南·安阳一中校联考模拟预测）在数列中，且，则它的前项和（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用累乘法求出数列的通项公式，然后利用裂项相消法可求得的值.
【详解】，，，
因此，.
故选：A.
6．（2022·全国·高三专题练****在数列中，，，若，且对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题干中的递推公式，利用累乘法求解数列的通项公式，利用错位相减法求解，分离参数，利用函数的单调性求解参数的取值范围.
【详解】解:由，得
，
所以，当时，，符合上式，
所以．
所以，，
作差得，
所以．由，得，
整理得．
易知函数在上单调递增，所以当时