人教高中数学秘籍04 解三角形最值、范围与图形题型归类（9大题型）（解析版）.docx

秘籍04 解三角形最值、范围与图形归类
概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
解三角形
作为高考固定题型，每次会出现在解答题的第一题或者第二题，新高考出现了结构不良题的新题型，无外乎的就是和三角函数与解三角形结合出现在解答题第一题里，占10分，难度不大也适应了新高考的新题型，所以是热门，必须要把各题型都能熟练掌握。
【题型一】 最值与范围：角与对边
注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐次，关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式，齐次分式也可以用正弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用此角的范围求得结论．
1.已知的内角所对的边分别为
（1）求；
（2）已知，求三角形周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
解（1）由可得
即，则，
所以
（2），
即，所以，当且仅当时，等号成立，所以
所以三角形周长的取值范围是
2.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知.
（1）求角A的值；
（2）若，求三角形周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1），由余弦定理可得：，
由正弦定理可得：，整理可得：，
，，可得：，，
（2），，，，，
设周长为y，则，
，，，，.
周长的取值范围是.
3.在锐角三角形中，，，分别为角，，的对边，且.
（1）求的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）∵，∴①，∵，
∴②，
又③，④，
将①②③④代入已知，得，
得，即，又，∴，即.
（2）由正弦定理得，
∵，∴，∴，的周长的取值范围.
1．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知，且△ABC的面积为，则△ABC周长的最小值为（    ）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【详解】由题设及三角形内角和性质：，
根据正弦定理及诱导公式得，
，，，即，
，则，则，解得,则，
所以，则，
又仅当时等号成立，
根据余弦定理得，即，
设的周长为，则，
设，则，
根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得：在上为单调增函数，
故，故，当且仅当时取等.
故选：B
2．（2023·陕西商洛·统考二模）在中，已知为的中点，，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
又，所以，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
在中，
由余弦定理得，
所以的最小值为.
故选：A.
3．（2023·青海·校联考模拟预测）在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因为，所以，
可得，
因为，所以，
所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得
.
故答案为：.
【题型二】 最值与范围：角与邻边
三角形中最值范围问题的解题思路：
要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题。
涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大
1.．在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求角B；
（2）若△为锐角三角形，且，求△面积的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）由题设及正弦定理得因为，所以．
由，可得，故．
因为，故，由．
（2）由题设及（1）知的面积．由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故，，由（1）知，所以，
故，所以，从而．
因此，面积的取值范围是．
2.在中，设，，所对的边长分别为，，，且.
（1）求；
（2）若，且为锐角三角形，求的面积的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）∴∴
∴，而∴，，∴．
（2）
∴为锐角三角形∴且即
∴∴∴．
3.已知为锐角三角形，角所对边分别为，满足：.
（1）求角的取值范围；
（2）当角取最大值时，若，求的周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）由正弦定理可得：，即，，又，的取值范围为；
（2）由（1）知：；由正弦定理