人教版第11讲 导数与函数的极值、最值（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第11讲 导数与函数的极值、最值
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的极值
一般地，设函数f(x)在x0处可导，且f′(x0)＝0.
(1)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)>0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)<0，那么此时x0是f(x)的极大值点.
(2)如果对于x0左侧附近的任意x，都有f′(x)<0；对于x0右侧附近的任意x，都有f′(x)>0，那么此时x0是f(x)的极小值点.
(3)如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x0一定不是y＝f(x)的极值点.
(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在[a，b]上的最值
如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
考点和典型例题
1、利用导数求函数的极值
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练****函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极小值点（       ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【详解】
由导函数在区间内的图象可知，
函数在内的图象与轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数在开区间内的极小值点有个，
故选：A.
【典例1-2】（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数，则的极大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
函数的定义域为，
,
令，解得或，
故
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的极大值为，
故选：B.
【典例1-3】（2022·新疆·三模（文））若函数在处有极值10，则（       ）
A．6 B． C．或15 D．6或
【答案】B
【详解】
，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意
经检验， 时满足题意

故选：B
【训练1-1】（2022·河南新乡·二模（文））已知，函数的极小值为，则（       ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】
，则在和上单调递减，在上单调递增，所以，则，则．
故选：C
【训练1-2】（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练****文））已知为常数，函数有两个极值点，其中一个极值点满足，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
，由函数有两个极值点，
则等价于有两个解，即与有两个交点，
所以.
直线过点
由在点处的切线为，显然直线过点
当时，直线与曲线交于不同两点（如下图），且，
，
令，则，
所以单调递增，，即，
故选： D.
【训练1-3】（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练****文））已知函数在与时，都取得极值．
(1)求，的值；
(2)若，求的单调增区间和极值．
【答案】(1)，
(2)函数的单调递增区间是和，单调递减区间是，函数的极大值是，函数的极小值是.
【解析】(1)
，由条件可知和，
即，解得：，，
所以，
检验：













单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
经检验与时，都取得极值，满足条件，所以，；
(2)
，解得：，
所以

单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
有表可知，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是
，函数的极大值是，函数的极小值是.
【训练