人教版第18讲 等差数列及其求和（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第18讲 等差数列及其求和
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一、知识梳理
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列.其中d称为等差数列的公差.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).
(2)等差中项：①如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，A＝.
②推广：若{an}为等差数列，则2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
(6)若等差数列的项数为2n(n∈N＋)时，则S2n＝n(an＋an＋1)，且S偶－S奇＝nd，＝.
(7)若等差数列的项数为2n－1(n∈N＋)时，则S2n－1＝(2n－1)an，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)an，＝.
考点和典型例题
1、等差数列的基本运算
【典例1-1】（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（理））已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ）
A．31 B． C． D．63
【答案】C
【详解】
∵成等差数列，
∴，
∴，即，解得 或 ，
又∵，∴，
∴，
故选：C.
【典例1-2】（2022·北京育才学校模拟预测）设是等差数列，且，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
解：由题意得：
设的公差为
又
又，
故选：D
【典例1-3】（2022·云南师大附中模拟预测（理））《九章算术》是我国秦汉时期一部杰出的数学著作，书中第三章“衰分”有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共出百钱.欲令高爵出少，以次渐多，问各几何?”意思是：“有大夫、不更、簪裏、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增等差数列，这5个人各出多少钱?”在这个问题中，若不更出17钱，则公士出的钱数为（       ）
A．10 B．14 C．23 D．26
【答案】A
【详解】
解：设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列．
由题意可知，等差数列中，前5项和为100，
设公差为，前项和为，
则，解得，
所以，
所以公士出的钱数为，
故选：A．
【典例1-4】（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列的前n项和为，已知，则（       ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】C
【详解】
因为，又，
所以，
所以，即，
设等差数列的公差为，
则，
所以，又，
所以，
所以．
故选：C.
【典例1-5】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）记为等差数列的前项和.若，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
设等差数列的公差为，
由得：，解得：，
.
故选：D.
【典例1-6】（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））在等差数列中，，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由得：，.
故选：B.
2、等差数列的判定与证明
【典例2-1】（2022·安徽·高二阶段练****设等差数列的前n项和为，且满足，，则下列结论正确的是（       ）
A．数列为单增数列 B．数列为单减数列
C．对任意正整数n，都有 D．对任意正整数n，都有
【答案】BD
【详解】
在等差数列中，因为，，
可得，，
即且，即且，
所以，，且，此时数列为递减数列，
可得对任意正整数n，都有.
故选：BD.
【典例2-2】（2022·辽宁实验中学高二期中）已知等差数列，其前n项的和为，则下列