人教版第30讲 圆锥曲线的综合应用（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第30讲 圆锥曲线的综合应用
学校____________ 姓名____________ 班级____________
知识梳理
1.判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).
(1)当a≠0时，则Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离.
(2)当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合.
2.对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.
3.弦及弦中点问题的解决方法
(1)根与系数的关系：直线与椭圆或双曲线方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；
(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆或双曲线方程，作差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中点坐标，可求弦所在直线的斜率.
4.弦长的求解方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆或双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种：
①|AB|＝|x1－x2|
＝；
②|AB|＝|y1－y2|(k≠0)
＝.
考点和典型例题
1、直线与圆锥曲线的位置关系
【典例1-1】直线与椭圆的位置关系是（       ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【详解】
，在椭圆内，
恒过点，直线与椭圆相交.
故选：A.
【典例1-2】过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（       ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【详解】
当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为，联立，得①.
当，即时，①式只有一个解；
当时，则，解得；
综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.
故选：D.
【典例1-3】斜率为的直线过抛物线的焦点，且与C交于A，B两点，则三角形的面积是（O为坐标原点）（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
抛物线的焦点坐标为，
则斜率为的直线方程为：，与抛物线方程联立得：
，
设，不妨设，，
则，
点O到直线AB的距离为，
所以△AOB的面积为
故选：B
【典例1-4】（多选）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点P是双曲线C右支上异于顶点的一点，则（       ）
A．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1
B．若双曲线C为等轴双曲线，且，则
C．若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则C的离心率为
D．延长交双曲线右支于点Q，设与的内切圆半径分别为、，则
【答案】ABD
【详解】
由题意知，，设，对于A，若双曲线C为等轴双曲线，则，
则，又，则，A正确；
对于B，设，则，由A选项知，即，
又，，故，解得，即，B正确；
对于C，易得双曲线的渐近线方程为，若P为焦点关于双曲线C的渐近线的对称点，则有，
解得，代入可得，即，
解得，则C的离心率为，C错误；
对于D，设的内切圆与分别切于三点，由切线长定理知，
则，又，可得，
则和重合，即的内切圆圆心的横坐标为，同理可得的内切圆圆心横坐标也为，
则轴，且，作于，则即为切点，作于，则，
，，在中，
可得，即，整理得，D正确.
故选：ABD.
【典例1-5】（多选）已知抛物线：，过其准线上的点作的两条切线，切点分别为，，下列说法正确的是（       ）
A． B．当时，
C．当时，直线的斜率为2 D．面积的最小值为4
【答案】ABD
【详解】
对A，易知准线方程为，∴，：，故选项A正确.
对B，设直线，代入，得，当直线与相切时，有，即，设，斜率分别为，，易知，是上述方程两根，故，故.故选项B正确.
对C，设，，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，
故：，故.   故选项C不正确.
对D，同C，切线方程：；：，代入点有，，故直线的方程为，即，联立有，则，故，又到的距离，故，故当时的面积小值为，故D正确；
故选：ABD
2、中点弦及弦长问题
【典例2-1】（2022·江苏·高二）已知椭圆的左焦点为，过作一条倾斜角为的直线与椭圆交于