人教版第32讲 计数原理（解析）-2023年高考一轮复习精讲精练必备.docx

第32讲 计数原理
学校____________ 姓名____________ 班级____________
知识梳理
基本计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事，如果有n类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
排列与组合
1.排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象
并按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列
组合
并成一组，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示.
(2)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有组合的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数，用符号C表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.
(2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＋C＝C
二项式定理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式
系数最大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与相等且取得最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
考点和典型例题
1、基本计数原理
【典例1-1】（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（
       ）种.
A．24 B．96 C．174 D．175
【答案】D
【详解】
若4人均去茶经楼，则有1种参观方式，
若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处，
有